百度作业网矩阵的 R(A) R(B)
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/08/08 02:25:58
前提是A是实矩阵要证明rank(A^TA)=rank(A),只需要验证A^TAx=0个Ax=0同解即可（注意A^TAx=0=>(Ax)^TAx=0）
依题意r(A)=r
A的列向量可由(A,B)的列向量组线性表示所以r(A)
设一分块矩阵C上块为A下块为BCx=0的解就是Ax=0与Bx=0的公共解r(C)
请看图片证明:
因为R(A)=n那么取A中n行构成A的基CC的大小是n*n设R(B)=y同理取B的基DD的大小是n*y因为R(C*D)=R(D)=R(B);所以R(AB)=R(B);
题目有点小错误,B的阶数是mxr,否则不能随便乘取m阶可逆阵P和n阶可逆阵Q使得A=PDQ,其中D=I_r000取B为P的前r列,C为Q的前r行即可.
将A进行列分块为(a1,a2,a3,...ap),于是AB=b11a1+b21a2+...bp1ap+b12a1+b22a2+...+...+bpnap所以AB可以由A的p个向量组线性线性表示,即r(
A,B的列向量可由(A,B)的列向量线性表示所以r(A)
这个没有什么必然关系给你举例说明吧A=（a11=1a12=2a21=3a22=4）12即A=（）34B=（a11=-1a12=-2a21=-3a22=-4）R（A+B）=0（因为是零矩阵为0）但是对于
A可逆,可表示为初等矩阵的乘积A=P1...PsP1,PsB相当于对B做初等行变换而初等变换不改变矩阵的秩所以R(AB)=R(B)
估计所给的证明方法是:先证:A经过一次初等变换变为B,则R(A)≤R(B)然后:由于初等变换是可逆变换,B可经过一次初等变换变为A,则R(B)≤R(A)最后得结论r(A)=r(B).有疑问可消息我继续
(1)是充分条件(2)a^3(3)至少有一个向量可由其余向量线性表示标题上还有一个(0)B的秩>=
把A和B的极大线性无关列都取出来,由此构造大矩阵里面列的极大线性无关组
这个叫做矩阵的满秩分解,《矩阵论》上的定理.证明：A是m×n矩阵,R（A）＝r,则A一定能通过初等行列变换变成如下矩阵100...00010...00001...00...000...00就是左上角是
考察I00AB利用初等变换I00ABI-B0ABI-BA0再由秩的定义容易说明它的秩不小于0-BA0的秩即可.
1）由AB=0,得R(A)+R(B)《r.又R(B)=r,故R(A)《0.显然R(A)》0.故R(A)=0既A=02）如果AB=B,则AB-B=0.即（A-E）B=0,R(B)+R(A-E)《r.又R
证明:分两步(1)ABX=0与BX=0同解显然,BX=0的解都是ABX=0的解所以BX=0的基础解系可由ABX=0的基础解系线性表示.由已知r(B)=r(AB)所以两个基础解系所含向量个数相同故两个基
设A的秩为k,则设a1...ak为它列向量的极大无关组设B的秩为l,则设b1.bl为他它列向量的极大无关组那么r(A,B)=r(a1.ak,b1...bl)