一道微分中值定理的证明题.
来源:学生作业帮 编辑:百度作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/08 16:23:50
一道微分中值定理的证明题.
题目如下图,发不了图,发个链接,
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![一道微分中值定理的证明题.](/uploads/image/z/15142688-8-8.jpg?t=%E4%B8%80%E9%81%93%E5%BE%AE%E5%88%86%E4%B8%AD%E5%80%BC%E5%AE%9A%E7%90%86%E7%9A%84%E8%AF%81%E6%98%8E%E9%A2%98.)
证:
令A(x)=f(x)/x,B(x)=1/x
那么:
A'(x)=xf'(x)-f(x)/x^2
B'(x)=-1/(x^2)
在区间(a,b)上,满足B'(x)!=0
应用柯西中值定理
必存在ξ使得:
[A(b)-A(a)]/[B(b)-B(a)]=A'(ξ)/B'(ξ)
即:
[f(b)/b-f(a)/a]/(1/b-1/a)={[ξf'(ξ)-f(ξ)]/ξ^2}/[-1/(ξ^2)]
即:
[af(b)-bf(a)]/(a-b)=f(ξ)-ξf'(ξ)
证毕!
令A(x)=f(x)/x,B(x)=1/x
那么:
A'(x)=xf'(x)-f(x)/x^2
B'(x)=-1/(x^2)
在区间(a,b)上,满足B'(x)!=0
应用柯西中值定理
必存在ξ使得:
[A(b)-A(a)]/[B(b)-B(a)]=A'(ξ)/B'(ξ)
即:
[f(b)/b-f(a)/a]/(1/b-1/a)={[ξf'(ξ)-f(ξ)]/ξ^2}/[-1/(ξ^2)]
即:
[af(b)-bf(a)]/(a-b)=f(ξ)-ξf'(ξ)
证毕!