如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=CD=2，∠C=60°，M是BC的中点．

来源：学生作业帮编辑：百度作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/07/19 11:03:19

（1）求证：△MDC是等边三角形；
（2）将△MDC绕点M旋转，当MD（即MD′）与AB交于一点E，MC（即MC′）同时与AD交于一点F时，点E，F和点A构成△AEF．试探究△AEF的周长是否存在最小值？如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出△AEF周长的最小值．

如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=CD=2，∠C=60°，M是BC的中点．

（1）证明：连接AM，过点D作DP⊥BC于点P，过点A作AQ⊥BC于点Q，
即AQ∥DP，
∵AD∥BC，
∴四边形ADPQ是平行四边形，
∴AD=QP=AB=CD，
∵∠C=∠B=60°，
∴∠BAQ=∠CDP=30°，
∴CP=BQ=
1
2AB=1，
即BC=1+1+2=4，
∵CD=2，
∴BC=2CD，
∵点M是BC的中点，
BC=2CM，
∴CD=CM，
∵∠C=60°，
∴△MDC是等边三角形．
（2） △AEF的周长存在最小值，理由如下：

过D作DN⊥BC于N，连接AM，
∵∠C=60°，
∴∠CDN=30°，
∵CD=2，
∴CN=1，
∴由勾股定理得：DN=
3，
连接AM，由（1）平行四边形ABMD是菱形，
△MAB，△MAD和△MC′D′是等边三角形，
∠BMA=∠BME+∠AME=60°，∠EMF=∠AMF+∠AME=60°，
∴∠BME=∠AMF，
在△BME与△AMF中，

∠B=∠FAM
BM=AM
∠BME=∠AMF，
∴△BME≌△AMF（ASA），
∴BE=AF，ME=MF，AE+AF=AE+BE=AB，
∵∠EMF=∠DMC=60°，故△EMF是等边三角形，EF=MF，
∵MF的最小值为点M到AD的距离等于DN的长，即是
3，即EF的最小值是
3，
△AEF的周长=AE+AF+EF=AB+EF，
△AEF的周长的最小值为2+
3，
答：存在，△AEF的周长的最小值为2+
3．

如图已知等腰梯形ABCD中,AD平行BC,M是AB的中点,DM垂直CM.求证:CD=AD+BC 如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,E是AB的中点,过点E作EF∥BC交CD于点F,AB=4,BC=6,∠B=60° 如图1,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,E是AB的中点,过点E作EF∥BC交CD于点F．AB=4,BC=6,∠B=60 如图，梯形ABCD，AD∥BC，AB=AD+BC，E是CD的中点．求证：在等腰梯形ABCD中,AD//BC,AB=CD,E、N、F、M分别是边AB、BC、CD、DA的中点,且EF^2+MN^2 如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AD=BC,且AC⊥BD,CH是AB上的高,求证AB+CD=2CH 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，BC=2AB，求证：四边形ABCD是等腰梯形．如图,在梯形ABCD中,AD//BC,M是CD的中点,AB=AD+BC,角DAM=50°,求角ABC的大小如图所示．直角梯形ABCD中，∠C=90°，AD∥BC，AD+BC=AB，E是CD的中点．若AD=2，BC=8，求△AB 如图，四边形ABCD是等腰梯形，BC∥AD，AB=DC，BC=2AD=4cm，BD⊥CD，AC⊥AB，BC边的中点为E．已知：如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB+CD=BC，M是AD的中点．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中点，AB+CD=AD，求证：