无限不循环小数的疑惑无限不循环小数——既是无限,又如何知道它是不循环的?或者它的循环节超级超级长呢?比如根号2等等,如何
来源:学生作业帮 编辑:百度作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/23 01:34:22
无限不循环小数的疑惑
无限不循环小数——既是无限,又如何知道它是不循环的?或者它的循环节超级超级长呢?比如根号2等等,如何证明无限不循环小数真的是不循环的?
无限不循环小数——既是无限,又如何知道它是不循环的?或者它的循环节超级超级长呢?比如根号2等等,如何证明无限不循环小数真的是不循环的?
![无限不循环小数的疑惑无限不循环小数——既是无限,又如何知道它是不循环的?或者它的循环节超级超级长呢?比如根号2等等,如何](/uploads/image/z/15351342-6-2.jpg?t=%E6%97%A0%E9%99%90%E4%B8%8D%E5%BE%AA%E7%8E%AF%E5%B0%8F%E6%95%B0%E7%9A%84%E7%96%91%E6%83%91%E6%97%A0%E9%99%90%E4%B8%8D%E5%BE%AA%E7%8E%AF%E5%B0%8F%E6%95%B0%E2%80%94%E2%80%94%E6%97%A2%E6%98%AF%E6%97%A0%E9%99%90%2C%E5%8F%88%E5%A6%82%E4%BD%95%E7%9F%A5%E9%81%93%E5%AE%83%E6%98%AF%E4%B8%8D%E5%BE%AA%E7%8E%AF%E7%9A%84%3F%E6%88%96%E8%80%85%E5%AE%83%E7%9A%84%E5%BE%AA%E7%8E%AF%E8%8A%82%E8%B6%85%E7%BA%A7%E8%B6%85%E7%BA%A7%E9%95%BF%E5%91%A2%3F%E6%AF%94%E5%A6%82%E6%A0%B9%E5%8F%B72%E7%AD%89%E7%AD%89%2C%E5%A6%82%E4%BD%95)
无限不循环小数就是无理数,而有理数包括整数和分数(分数包括有限小数和无限循环小数).所以只要证明一个数不是整数和分数,那么这个数只能是无理数,也就是无限不循环小数.比如根号2,运用反证法,假设根号2=p/q,即一个分数,且p和q互质.那么有两种情况:p和q均为奇数,所以p^2和q^2也是奇数,但是由根号2=p/q即p^2=2*q^2,所以p^2是偶数,矛盾.第二种情况:一个奇数一个偶数,不妨设p奇q偶,那么p^2为奇数,q^2为偶数,但p^2=2*q^2,所以矛盾,如果p偶q奇,所以p^2是4的倍数,而q^2是奇数,但p^2=2*q^2,则q^2也应是偶数,否则p^2不是4的倍数,矛盾.我们已经假设p和q互质,所以不能都是偶数,故根号2不是分数,当然也不是整数,只能是无理数
再问: 打了这么多字真是辛苦你了。谢谢。 还想问问, 有办法证明分数包括所以无限循环小数吗,即,所有无限循环小数都可以表示成分数?
再答: 我晕,这不用证吧,无限循环小数怎么来的?还不是整数除以整数除不尽时得到的
再问: 嗯,你是头脑精密型。 “整数除以整数的结果可以是无限循环小数”——逆命题“无限循环小数一定可以表示成整数除以整数(即分数)”——以前读书的时候老师不是常说一个命题的逆命题不一定成立,那,这个逆命题如何证明呢?或者你告诉我这在数学上可不可以证明就可以了,告诉我如何证明或者我也看不懂,隐约觉得这可能涉及太深的数学知识。 谢谢了。对这个问题我有点疑惑。
再答: 利用一个帮你证明一下。比如0.333333333··· 先乘以10,得到3.33333····,然后减去0.3333333····,得到3,所以(10-1)*0.33333····=3,那么0.3333···=3/9=1/3 或者比如0.232323···,可以用上述方法,乘以100,也可以假设x=0.232323···,那么100x-23=x,所以x=23/99
再问: 打了这么多字真是辛苦你了。谢谢。 还想问问, 有办法证明分数包括所以无限循环小数吗,即,所有无限循环小数都可以表示成分数?
再答: 我晕,这不用证吧,无限循环小数怎么来的?还不是整数除以整数除不尽时得到的
再问: 嗯,你是头脑精密型。 “整数除以整数的结果可以是无限循环小数”——逆命题“无限循环小数一定可以表示成整数除以整数(即分数)”——以前读书的时候老师不是常说一个命题的逆命题不一定成立,那,这个逆命题如何证明呢?或者你告诉我这在数学上可不可以证明就可以了,告诉我如何证明或者我也看不懂,隐约觉得这可能涉及太深的数学知识。 谢谢了。对这个问题我有点疑惑。
再答: 利用一个帮你证明一下。比如0.333333333··· 先乘以10,得到3.33333····,然后减去0.3333333····,得到3,所以(10-1)*0.33333····=3,那么0.3333···=3/9=1/3 或者比如0.232323···,可以用上述方法,乘以100,也可以假设x=0.232323···,那么100x-23=x,所以x=23/99