已知集合MD是满足下列性质的函数f(x)的全体:存在非零常数k,使得对定义域D内的任意两个不同的实数x1,x2,均有|f
来源:学生作业帮 编辑:百度作业网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/08/11 06:20:17
已知集合MD是满足下列性质的函数f(x)的全体:存在非零常数k,使得对定义域D内的任意两个不同的实数x1,x2,均有|f(x1)-f(x2)|≤k|x1-x2|成立.
(Ⅰ) 当D=R时,f(x)=x是否属于MD?说明理由;
(Ⅱ) 当D=[0,+∞)时,函数f(x)=
(Ⅰ) 当D=R时,f(x)=x是否属于MD?说明理由;
(Ⅱ) 当D=[0,+∞)时,函数f(x)=
x+1 |
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(Ⅰ)属于MD.
事实上,对任意x1,x2∈R,|f(x1)-f(x2)|=|x1-x2|≤2|x1-x2|,
故可取常数k=2满足题意,因此f(x)∈MD.
(Ⅱ)∵f(x)=
x+1在[0,+∞)为增函数
∴对任意x1,x2∈[0,+∞)有|
f(x1)−f(x2)
x1−x2|=|
x1+1−
x2+1
(x1+1)−(x2+1)|=
1
x1+1+
x2+1<
1
2
(当x1=0,x2→0时取到),所以k≥
1
2,此即为所求.
(Ⅲ)存在.
事实上,由(Ⅰ)可知,g(x)=kx+b(k≠0)属于MD.
∵t是g(x)=0的根∴g(t)=0⇒t=−
b
k,
又f(g(t))=g(f(t)),∴f(0)=g(0),∴b=0,∴g(x)=kx
若k符合题意,则-k也符合题意,故以下仅考虑k>0的情形.
设h(x)=f(g(x))-g(f(x))=sinkx-ksinx,
①若k≥1,则
由h(
π
k)=sinπ−ksin
π
k<0,
且h(
事实上,对任意x1,x2∈R,|f(x1)-f(x2)|=|x1-x2|≤2|x1-x2|,
故可取常数k=2满足题意,因此f(x)∈MD.
(Ⅱ)∵f(x)=
x+1在[0,+∞)为增函数
∴对任意x1,x2∈[0,+∞)有|
f(x1)−f(x2)
x1−x2|=|
x1+1−
x2+1
(x1+1)−(x2+1)|=
1
x1+1+
x2+1<
1
2
(当x1=0,x2→0时取到),所以k≥
1
2,此即为所求.
(Ⅲ)存在.
事实上,由(Ⅰ)可知,g(x)=kx+b(k≠0)属于MD.
∵t是g(x)=0的根∴g(t)=0⇒t=−
b
k,
又f(g(t))=g(f(t)),∴f(0)=g(0),∴b=0,∴g(x)=kx
若k符合题意,则-k也符合题意,故以下仅考虑k>0的情形.
设h(x)=f(g(x))-g(f(x))=sinkx-ksinx,
①若k≥1,则
由h(
π
k)=sinπ−ksin
π
k<0,
且h(
定义“好函数”的概念如下:存在常数k,使得对定义域D内的任意两个不同的实数x1、x2,均有|f(x1)-f(x2)|
50.已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体:存在非零常数k,对任意x∈D(D为函
已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体:存在非零常数T,使得对任意x属于R,有
已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体:存在非零常数k,对定义域中的任意x,等式f(kx)=k2+f(x)恒成立.
已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体:存在非零常数k,对定义域中的任意x,等式f(kx)=k2
已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体:存在非零常数k,对任意x∈D,等式f(kx)=k2+f(x)恒成立.
已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体:存在非零常数T,使得对任意x∈R,有f(x+T)=Tf(x)成立.
已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体:存在非零常数T,使得对任意x属于R,有f(x+T)=Tf(x)成立.(1)
定义:若存在常数k,使得对定义域D内的任意两个x1,x2(x1不等于x2),均有|f(x1)-f(x2)|小于等于k|x
已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体:存在非零常数T,使得对任意x属于R,有f(x+T)=Tf(x)成立.
已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的集合:存在非零常数k,对定义域中的任意x,等式f(kx)=k2+f(x)恒成立.
已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体:存在非零常数T,对任意实数x∈R+,f(Tx)=T+f(x)