22.已知数列{an}的前n项和为Sn,且对任意正整数n都有an是n与Sn的等差中项,bn=an+1 (1)求证:数列{
来源:学生作业帮 编辑:百度作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/16 11:19:21
22.已知数列{an}的前n项和为Sn,且对任意正整数n都有an是n与Sn的等差中项,bn=an+1 (1)求证:数列{bn}是等比数列,并求出其通项bn; (2)若数列{Cn}满足Cn=1/log2bn且数列{Cn2}的前n项和为Tn,证明:Tn
![22.已知数列{an}的前n项和为Sn,且对任意正整数n都有an是n与Sn的等差中项,bn=an+1 (1)求证:数列{](/uploads/image/z/15884252-44-2.jpg?t=22.%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E6%95%B0%E5%88%97%EF%BD%9Ban%EF%BD%9D%E7%9A%84%E5%89%8Dn%E9%A1%B9%E5%92%8C%E4%B8%BASn%EF%BC%8C%E4%B8%94%E5%AF%B9%E4%BB%BB%E6%84%8F%E6%AD%A3%E6%95%B4%E6%95%B0n%E9%83%BD%E6%9C%89an%E6%98%AFn%E4%B8%8ESn%E7%9A%84%E7%AD%89%E5%B7%AE%E4%B8%AD%E9%A1%B9%EF%BC%8Cbn%3Dan%2B1+%EF%BC%881%EF%BC%89%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9A%E6%95%B0%E5%88%97%EF%BD%9B)
解题思路: 第一问,化掉Sn,按照题目的提示进行变形; 第二问,放缩法、裂项相消法。
解题过程:
22.已知数列{an}的前n项和为Sn,且对任意正整数n都有an是n与Sn的等差中项,bn=an+1
(1)求证:数列{bn}是等比数列,并求出其通项bn;
(2)若数列{Cn}满足Cn=1/log2bn且数列{Cn2}的前n项和为Tn,证明:Tn<2.
解:(1) 由题意,
,当n=1时,
,即
,得
,
当n≥2时,由
,得
,相减得
,
即
,得
,
,即
,
又∵
,
∴ 数列{
}是公比为2、首项为2的等比数列;
从而, 数列{
}的通项公式为
,n∈N*;
(2) 承(1),
, ∴
, 其前n项和为
,
① 若n=1时,
,成立;
② 当n≥2时,
,
∴
,成立,
综上①②所述,得
.
【注:这里的①②,并不是“数学归纳法”, 而是“分类讨论”的两种情况】
解题过程:
22.已知数列{an}的前n项和为Sn,且对任意正整数n都有an是n与Sn的等差中项,bn=an+1
(1)求证:数列{bn}是等比数列,并求出其通项bn;
(2)若数列{Cn}满足Cn=1/log2bn且数列{Cn2}的前n项和为Tn,证明:Tn<2.
解:(1) 由题意,
![](http://img.wesiedu.com/upload/c/ed/ced9ba61fb52a9c10cfd8ba6a3169606.gif)
![](http://img.wesiedu.com/upload/3/b1/3b17a4d6872505c8e330c475d7794614.gif)
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当n≥2时,由
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即
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![](http://img.wesiedu.com/upload/8/46/8466a7d19ebbffe84b5328f2bd1987ca.gif)
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又∵
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∴ 数列{
![](http://img.wesiedu.com/upload/7/6e/76eb205606dca07734c80f89b503dbe3.gif)
从而, 数列{
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(2) 承(1),
![](http://img.wesiedu.com/upload/8/68/86833aaa4cf27a8167140c1ba3b74de6.gif)
![](http://img.wesiedu.com/upload/4/d5/4d538dc9ef4623746519556b7940cbb1.gif)
![](http://img.wesiedu.com/upload/1/59/15916627ff84fb820b657310fcde4c0b.gif)
① 若n=1时,
![](http://img.wesiedu.com/upload/1/09/10994115c9a0e32d9103fd37a937360b.gif)
② 当n≥2时,
![](http://img.wesiedu.com/upload/c/8e/c8e641100aa27f26f6a70a337bd62879.gif)
∴
![](http://img.wesiedu.com/upload/5/be/5be446d2ccc3bd190db85699199d87c1.gif)
综上①②所述,得
![](http://img.wesiedu.com/upload/d/59/d592077faab7c52043c36012c775374f.gif)
【注:这里的①②,并不是“数学归纳法”, 而是“分类讨论”的两种情况】
已知数列an的前n项和为sn,且对任意正整数n都有an是n与sn的等差中项(1)bn=an+1,求bn
已知数列{an}的前n项和为Sn,且对任意正整数n都有an是n与Sn的等差中项.
已知数列{an}的前n项和为Sn,且对任意的n属于正整数有an+Sn=n (1)设bn=an-1,求证:数列{bn}是等
已知数列{an}的前n项和为Sn,且对任意正整数n,都有an是n与Sn的等差中项,求数列{an}的通项公式
已知数列an的前n项的和为sn,且对任意n∈N有an+sn=n,设bn=an-1,求证数列bn是等比数列
已知数列an的通项为an,前n项和为Sn,且an是Sn与2的等差中项;数列bn中,b1=1,点P(bn,bn+1)在直线
设数列an的前n项和为sn,对任意的正整数n,都有an=5sn+1成立,记bn=(4+an)/(1-an)(n是正整数)
数列{an}的前n项和为Sn,对任意的正整数n,都有an=5Sn+1成立,记bn=(4+an)/(1-an)(n是正整数
已知数列{an}的前n项和Sn=-an-(1/2)^(n-1)+2(n为正整数).令bn=2^n*an,求证数列{bn}
设数列﹛an﹜的前n项和为Sn,若对于任意的正整数n都有Sn=2an-3n.设bn=an+3,求证数列﹛bn﹜是等比数列
已知数列{An}的前n项和为Sn,且Sn是An与1的等差中项,则An=
设数列{an}的前n项和为sn,若对于任意的正整数n都有sn=2an-3n.(1)设bn=an+3,证明:数列{bn}是