一道关于可导连续的高数题
来源:学生作业帮 编辑:百度作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/17 00:48:22
一道关于可导连续的高数题
设f(x)={(x-1)^a*cos(1/x-1),x不等于1;
0 x=1
这样一个分段函数,当a的值为_____时,f(x)在x=1处连续,当a的值为____时,f(x)在x=1处可导.
设f(x)={(x-1)^a*cos(1/x-1),x不等于1;
0 x=1
这样一个分段函数,当a的值为_____时,f(x)在x=1处连续,当a的值为____时,f(x)在x=1处可导.
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分段函数连续,则有:
x→1时,lim(x-1)^a*cos(1/x-1)=0,即lim(x-1)^a=0,
所以a>0时函数连续,(因为cos(1/x-1)是[-1,1]的有界函数,所以在这里可以抛开不讨论)
分段函数可导,则有:
根据导数定义式:x→1时,lim(x-1)^a*cos(1/x-1) / x-1=0
即x→1时,lim(x-1)^a/x-1=0
lim(x-1)^a-1=0
所以a>1时,函数可导
x→1时,lim(x-1)^a*cos(1/x-1)=0,即lim(x-1)^a=0,
所以a>0时函数连续,(因为cos(1/x-1)是[-1,1]的有界函数,所以在这里可以抛开不讨论)
分段函数可导,则有:
根据导数定义式:x→1时,lim(x-1)^a*cos(1/x-1) / x-1=0
即x→1时,lim(x-1)^a/x-1=0
lim(x-1)^a-1=0
所以a>1时,函数可导