百度作业网已知实数a，b，c满足a+b+c=1，a2+b2+c2=3，则abc的最大值为___．
来源：学生作业帮 编辑：百度作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/08/07 10:01:18
已知实数a，b，c满足a+b+c=1，a2+b2+c2=3，则abc的最大值为___．
由a+b+c=1，a2+b2+c2=3 可得
1=（a+b+c）2=a2+b2+c2 +2ab+2bc+2ac=3+（2ab+2bc+2ac ），故有 ab+bc+ac=-1．
∴-1=ab+c（a+b）=ab+c（1-c），∴ab=c2-c-1．
又a+b=1-c，∴由韦达定理可知，a和b是关于x的方程 x2+（c-1）x+（c2-c-1）=0的两根．
∴△=（c-1）2-4（c2-c-1）≥0，整理可得3c2-2c-5≤0，解得-1≤c≤
5
3．
再由ab=c2-c-1，可得abc=c3-c2-c．
构造函数f（x）=x3-x2-x，-1≤x≤
5
3，
求导可得 f'（x）=3x2-2x-1=（x-1）（3x+1），令f′（x）=0，可得x=-
1
3，或 x=1．
在[-1，-
1
3）、[1，
5
3）上，f′（x）＞0，f（x）是增函数．
在（-
1
3，1）上，f′（x）＜0，f（x）是减函数．
∴f（x）max=max{f（-
1
3），f（
5
3）}=
5
27，
∴（abc）max=
5
27，
故答案为
5
27．
1=（a+b+c）2=a2+b2+c2 +2ab+2bc+2ac=3+（2ab+2bc+2ac ），故有 ab+bc+ac=-1．
∴-1=ab+c（a+b）=ab+c（1-c），∴ab=c2-c-1．
又a+b=1-c，∴由韦达定理可知，a和b是关于x的方程 x2+（c-1）x+（c2-c-1）=0的两根．
∴△=（c-1）2-4（c2-c-1）≥0，整理可得3c2-2c-5≤0，解得-1≤c≤
5
3．
再由ab=c2-c-1，可得abc=c3-c2-c．
构造函数f（x）=x3-x2-x，-1≤x≤
5
3，
求导可得 f'（x）=3x2-2x-1=（x-1）（3x+1），令f′（x）=0，可得x=-
1
3，或 x=1．
在[-1，-
1
3）、[1，
5
3）上，f′（x）＞0，f（x）是增函数．
在（-
1
3，1）上，f′（x）＜0，f（x）是减函数．
∴f（x）max=max{f（-
1
3），f（
5
3）}=
5
27，
∴（abc）max=
5
27，
故答案为
5
27．
已知实数a，b，c满足a+b+c=0，a2+b2+c2=1，则a的最大值是______．
已知：实数abc a2+b2+c2=9 求(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2的最大值
已知:实数a、b、c满足a2+b2+c2=3分之10,求(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2的最大值
已知实数a，b，c满足a2+b2=1，b2+c2=2，c2+a2=2，则ab+bc+ca的最小值为（ ）
已知：实数a，b，c，满足a+b+c=0，a2+b2+c2=6，求a的最大值．
已知a,b,c,P是实数,满足a+b+c=0,a2+b2+c2=P,而且a的最小值为-3,最大值为3,则P的值为
已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2（c2-a2）=b2（c2-b2），判断此三角形的形状．
三个有理数a，b，c满足a：b：c=2：3：5，且a2+b2+c2=abc，则a+b+c= ___ ．
已知实数a、b、c、d满足a2+b2=1，c2+d2=2，求ac+bd的最大值．
已知实数abc满足：a+b+c=9,a2+b2+c2=29,a3+b3+c3=99,则1/a+1/b+1/c=?
已知实数abc满足a+2b+c=1，a2+b2+c2=1，求证：-23
已知实数a，b，c满足a+2b-c=1，则a2+b2+c2的最小值是______．