在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形,PD=DC,E、F分别是AB、PB的中点.

来源：学生作业帮编辑：百度作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/08/09 04:44:07

在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形,PD=DC,E、F分别是AB、PB的中点.
求DB与平面DEF所成角的正弦值.

设底面正方形边长为1,
DE=√5/2,△PDB是RT△,
BD=√2,
PD=1,
PB=√3,
DF=PB/2=√3/2,
PA=√2,
EF=PA/2=√2/2,
根据勾股定理,DF^2+EF^2=DE^2,
△DEF是RT△,
S△DEF=DF*EF/2=√6/8,
设N至平面DEF距离为d,
VF-BDE=S△DEF*d/3=√6d/24,
S△DBE=S正方形ABCD/4=1/4,
取BD中点O,连结FO,则OF是△PBD中位线,
OF//DP,OF=DP/2=1/2,
∵PD⊥平面ABCD,
∴OF⊥平面BDE,
OF是三棱锥F-BED有高,
VF-BED=S△BED*OF/3=（1/4）*（1/2）/3=1/24,
VF-BED=VB-DEF,
√6d/24=1/24,
d=√6/6,
设BD和平面DEF所成角为θ,
sinθ=d/BD=（√6/6）/√2=√3/6,
∴DB与平面DEF所成角的正弦值为√3/6.