用向量(f法向量)求二面角的大小,有时求出的是二面角,有时是他的补角,这是怎么回事?如何判断是不是补角?谁知道说详细点,
来源:学生作业帮 编辑:百度作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/16 18:57:04
用向量(f法向量)求二面角的大小,有时求出的是二面角,有时是他的补角,这是怎么回事?如何判断是不是补角?谁知道说详细点,最好有图有例子.
(一)
用向量法求二面角时,是先求的法向量的夹角,再推出二面角的大小.
而一个平面的法向量由定义得知可能有两个方向(如图1中α平面的法向量n1与法向量n1')
对于求法向量夹角可能出现:
(1)如图2所示为n1与n2的夹角(=n1'与n2'的夹角),易证即为二面角补角.
(2)如图3所示为n1与n2'的夹角(=n1'与n2的夹角),易证即为二面角.
故有时是二面角,有时是其补角.
(二)
先令法向量夹角为θ,则可由公式求出cosθ.
再通过观察、推理或已知等,得到二面角的大小为锐角还是钝角.
(1)如果二面角为锐角,则其余弦值应为正.
若cosθ为正,则θ为二面角.
若cosθ为负,则θ为二面角补角.
以图中为例,二面角由观察可知为锐角.如果你算出法向量n1与n2,则cosθ为负,二面角大小为π-θ.
如果你算出法向量n1与n2',则cosθ为正,二面角大小为θ.
(2)如果二面角为钝角,则其余弦值应为负.同理有:
若cosθ为正,则θ为二面角补角.
若cosθ为负,则θ为二面角.
(三)
要用法向量计算二面角,先要计算法向量,
可以控制法向量的方向如图3一样(即一个指向二面角内,另一个指向二面角外),就可以直接以θ为二面角.
也可以使法向量方向随意,只要像(二)中判断一下θ为二面角还是其补角.
求法向量可以使用待定系数法(参考百度百科之法向量),
也可使用平面内两不共线向量叉乘得到(高中不掌握,最好使用前者).
用向量法求二面角时,是先求的法向量的夹角,再推出二面角的大小.
而一个平面的法向量由定义得知可能有两个方向(如图1中α平面的法向量n1与法向量n1')
对于求法向量夹角可能出现:
(1)如图2所示为n1与n2的夹角(=n1'与n2'的夹角),易证即为二面角补角.
(2)如图3所示为n1与n2'的夹角(=n1'与n2的夹角),易证即为二面角.
故有时是二面角,有时是其补角.
(二)
先令法向量夹角为θ,则可由公式求出cosθ.
再通过观察、推理或已知等,得到二面角的大小为锐角还是钝角.
(1)如果二面角为锐角,则其余弦值应为正.
若cosθ为正,则θ为二面角.
若cosθ为负,则θ为二面角补角.
以图中为例,二面角由观察可知为锐角.如果你算出法向量n1与n2,则cosθ为负,二面角大小为π-θ.
如果你算出法向量n1与n2',则cosθ为正,二面角大小为θ.
(2)如果二面角为钝角,则其余弦值应为负.同理有:
若cosθ为正,则θ为二面角补角.
若cosθ为负,则θ为二面角.
(三)
要用法向量计算二面角,先要计算法向量,
可以控制法向量的方向如图3一样(即一个指向二面角内,另一个指向二面角外),就可以直接以θ为二面角.
也可以使法向量方向随意,只要像(二)中判断一下θ为二面角还是其补角.
求法向量可以使用待定系数法(参考百度百科之法向量),
也可使用平面内两不共线向量叉乘得到(高中不掌握,最好使用前者).
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