关于分段函数求导数的疑问
来源:学生作业帮 编辑:百度作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/17 11:10:22
关于分段函数求导数的疑问
![](http://img.wesiedu.com/upload/b/f7/bf7959278194190e1b3695478b893188.jpg)
![](http://img.wesiedu.com/upload/2/af/2af1ef76790a9d59ba7c2c1fa5dff8d5.jpg)
如图红色部分,我认为,此处不可以直接运用求导公式求,因为你仅仅是 x>0的范围,并不包括x=0,运用求导公式不妥.
因为公式 ( 和差积商的导数公式 ) 也是从最本质的定义演化出来的,定义公式就是
( f(x)-f(a) ) / ( x - a ),很显然定义公式的意思就是你要知道f(a).
定义是本源,其他的导数公式是衍生品.导数公式只有在满足定义的条件下,才能够起作用.
同时,蓝色部分,我觉得也说明了这个,求二阶导数的时候,忽然“从良”了,又按定义求了.
我和书本必然有一个错误,我的思考方式是否有问题?
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如图红色部分,我认为,此处不可以直接运用求导公式求,因为你仅仅是 x>0的范围,并不包括x=0,运用求导公式不妥.
因为公式 ( 和差积商的导数公式 ) 也是从最本质的定义演化出来的,定义公式就是
( f(x)-f(a) ) / ( x - a ),很显然定义公式的意思就是你要知道f(a).
定义是本源,其他的导数公式是衍生品.导数公式只有在满足定义的条件下,才能够起作用.
同时,蓝色部分,我觉得也说明了这个,求二阶导数的时候,忽然“从良”了,又按定义求了.
我和书本必然有一个错误,我的思考方式是否有问题?
![关于分段函数求导数的疑问](/uploads/image/z/16054122-66-2.jpg?t=%E5%85%B3%E4%BA%8E%E5%88%86%E6%AE%B5%E5%87%BD%E6%95%B0%E6%B1%82%E5%AF%BC%E6%95%B0%E7%9A%84%E7%96%91%E9%97%AE)
你提的的两个问题,书本没有错,错都在你:
(1)你画红线的部分没有问题.因为函数在 x>0 时是初等函数,是可导的,因而可以用运算法则求导,这跟函数在 x=0 处是否有值没关系.
(2)你画的蓝色部分同样没有问题.因为要在 x=0 处求二阶导数,而 f‘(x) 在 x=0 的两端有不同的表达式,所以此时求导数必须从定义出发分别求左、右导数,只有当左、右导数都存在且相等时,所求的导数才存在.
说得很不客气,希望谅解.
再问: 首先十分感谢你的回答。
但是我还是没有明白,如果蓝色部分需要用定义来求解,是因为 f ' (x) 在两端有不同的表达式的话。那么,红色部分也是同样的状况啊, f(x)在0的两端也有不同的表达式。 我不明白,两者有着类似的条件,却用不同的方法,是为什么?
再答: 说过了,红色部分只需考虑 x>0 时函数的表达式,与函数在 x=0 处是否有值没关系,更和 x0 时的导数,只需考虑 x>0 时函数的表达式,与函数在 x=0 处是否有值没关系,更和 x0时候的二阶导数了吧,为什么却和x=0处的值有关?
再答: 蓝色部分是要在 x=0 处求二阶导数,而 f‘(x) 在 x=0 的两端有不同的表达式,所以此时求导数必须从定义出发分别求在 x=0 处左、右导数,如求左导数,要考虑极限
lim(x→-0)[f'(x)-f'(0)]/x,
这里涉及到f'(0)和f'(x) (x0)。
再问: 感谢您的不厌其烦的解答。追问有字数限制,我做成图片了。矛盾的焦点在于,相同的条件,不同的解答方法。稍加替换,感觉红色和蓝色没有区别。![](http://img.wesiedu.com/upload/b/c7/bc799315c7061352c2b45228c9a9e368.jpg)
再答: 这句话回答过了:不管是二阶导数还是一阶导数,处理方法都是一样的,就是n阶导数也一样。
再问: 但是红线部分和蓝线部分的处理方法不一样。
再答: 这句话也回答过了:
(1)红线的部分:因为函数在 x>0 时是初等函数,是可导的,因而可以用运算法则求导,这跟函数在 x=0 处是否有值没关系。
(2)蓝色部分:因为要在 x=0 处求二阶导数,而 f‘(x) 在 x=0 的两端有不同的表达式,所以此时求导数必须从定义出发分别求左、右导数,只有当左、右导数都存在且相等时,所求的导数才存在。
再问: x>0时候,红线部分和蓝线部分都是初等函数2.红线在x=0两端有不同的表达式,蓝线也是如此。
再答: (1)红线的部分:只需考虑 x>0 时函数的表达式,与函数在 x=0 处是否有值没关系,更和 x
(1)你画红线的部分没有问题.因为函数在 x>0 时是初等函数,是可导的,因而可以用运算法则求导,这跟函数在 x=0 处是否有值没关系.
(2)你画的蓝色部分同样没有问题.因为要在 x=0 处求二阶导数,而 f‘(x) 在 x=0 的两端有不同的表达式,所以此时求导数必须从定义出发分别求左、右导数,只有当左、右导数都存在且相等时,所求的导数才存在.
说得很不客气,希望谅解.
再问: 首先十分感谢你的回答。
但是我还是没有明白,如果蓝色部分需要用定义来求解,是因为 f ' (x) 在两端有不同的表达式的话。那么,红色部分也是同样的状况啊, f(x)在0的两端也有不同的表达式。 我不明白,两者有着类似的条件,却用不同的方法,是为什么?
再答: 说过了,红色部分只需考虑 x>0 时函数的表达式,与函数在 x=0 处是否有值没关系,更和 x0 时的导数,只需考虑 x>0 时函数的表达式,与函数在 x=0 处是否有值没关系,更和 x0时候的二阶导数了吧,为什么却和x=0处的值有关?
再答: 蓝色部分是要在 x=0 处求二阶导数,而 f‘(x) 在 x=0 的两端有不同的表达式,所以此时求导数必须从定义出发分别求在 x=0 处左、右导数,如求左导数,要考虑极限
lim(x→-0)[f'(x)-f'(0)]/x,
这里涉及到f'(0)和f'(x) (x0)。
再问: 感谢您的不厌其烦的解答。追问有字数限制,我做成图片了。矛盾的焦点在于,相同的条件,不同的解答方法。稍加替换,感觉红色和蓝色没有区别。
![](http://img.wesiedu.com/upload/b/c7/bc799315c7061352c2b45228c9a9e368.jpg)
再答: 这句话回答过了:不管是二阶导数还是一阶导数,处理方法都是一样的,就是n阶导数也一样。
再问: 但是红线部分和蓝线部分的处理方法不一样。
再答: 这句话也回答过了:
(1)红线的部分:因为函数在 x>0 时是初等函数,是可导的,因而可以用运算法则求导,这跟函数在 x=0 处是否有值没关系。
(2)蓝色部分:因为要在 x=0 处求二阶导数,而 f‘(x) 在 x=0 的两端有不同的表达式,所以此时求导数必须从定义出发分别求左、右导数,只有当左、右导数都存在且相等时,所求的导数才存在。
再问: x>0时候,红线部分和蓝线部分都是初等函数2.红线在x=0两端有不同的表达式,蓝线也是如此。
再答: (1)红线的部分:只需考虑 x>0 时函数的表达式,与函数在 x=0 处是否有值没关系,更和 x