空间向量求2面角的正切值
来源:学生作业帮 编辑:百度作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/18 16:51:24
在4棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,点E在线段PC上,PC⊥平面BDE。
若PA=1,AD=2,求二面角B-PC-A的正切值
若PA=1,AD=2,求二面角B-PC-A的正切值
![空间向量求2面角的正切值](/uploads/image/z/16207186-58-6.jpg?t=%E7%A9%BA%E9%97%B4%E5%90%91%E9%87%8F%E6%B1%822%E9%9D%A2%E8%A7%92%E7%9A%84%E6%AD%A3%E5%88%87%E5%80%BC)
解题思路: 由题设条件及图知,可先由线面垂直的性质证出PA⊥BD与PC⊥BD,再由线面垂直的判定定理证BD垂直平面PAC,又由图可令AC与BD的交点为O,连接OE,证明出∠BEO为二面角B-PC-A的平面角,然后在其所在的三角形中解三角形即可求出二面角的正切值.
解题过程:
解:∵PA⊥平面ABCD
∴PA⊥BD
∵PC⊥平面BDE
∴PC⊥BD,又PA∩PC=P![](http://img.wesiedu.com/upload/e/3f/e3fe656589569b8862ced1a4a2231b09.png)
∴BD⊥平面PAC
又设AC与BD交点为O,连OE
∵PC⊥平面BDE
∴PC⊥OE
又∵BO⊥平面PAC
∴PC⊥BO
∴PC⊥平面BOE
∴PC⊥BE
∴∠BEO为二面角B-PC-A的平面角
∵BD⊥平面PAC
∴BD⊥AC
∴四边形ABCD为正方形,又PA=1,AD=2,可得BD=AC=22,PC=3
∴OC=BO=2
在△PAC∽△OEC中,OEOC=PAPC⇒OE2=13⇒OE=23
∴tan∠BEO=BOOE=3
∴二面角B-PC-A的平面角的正切值为3
最终答案:略
解题过程:
解:∵PA⊥平面ABCD
∴PA⊥BD
∵PC⊥平面BDE
∴PC⊥BD,又PA∩PC=P
![](http://img.wesiedu.com/upload/e/3f/e3fe656589569b8862ced1a4a2231b09.png)
∴BD⊥平面PAC
又设AC与BD交点为O,连OE
∵PC⊥平面BDE
∴PC⊥OE
又∵BO⊥平面PAC
∴PC⊥BO
∴PC⊥平面BOE
∴PC⊥BE
∴∠BEO为二面角B-PC-A的平面角
∵BD⊥平面PAC
∴BD⊥AC
∴四边形ABCD为正方形,又PA=1,AD=2,可得BD=AC=22,PC=3
∴OC=BO=2
在△PAC∽△OEC中,OEOC=PAPC⇒OE2=13⇒OE=23
∴tan∠BEO=BOOE=3
∴二面角B-PC-A的平面角的正切值为3
最终答案:略
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