空间向量求2面角的正切值

来源：学生作业帮编辑：百度作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/08/18 16:51:24

在4棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD,点E在线段PC上，PC⊥平面BDE。
若PA=1，AD=2，求二面角B-PC-A的正切值

解题思路：由题设条件及图知，可先由线面垂直的性质证出PA⊥BD与PC⊥BD，再由线面垂直的判定定理证BD垂直平面PAC，又由图可令AC与BD的交点为O，连接OE，证明出∠BEO为二面角B-PC-A的平面角，然后在其所在的三角形中解三角形即可求出二面角的正切值．
解题过程：
解：∵PA⊥平面ABCD
∴PA⊥BD
∵PC⊥平面BDE
∴PC⊥BD，又PA∩PC=P

∴BD⊥平面PAC
又设AC与BD交点为O，连OE
∵PC⊥平面BDE
∴PC⊥OE
又∵BO⊥平面PAC
∴PC⊥BO
∴PC⊥平面BOE
∴PC⊥BE
∴∠BEO为二面角B-PC-A的平面角
∵BD⊥平面PAC
∴BD⊥AC
∴四边形ABCD为正方形，又PA=1，AD=2，可得BD=AC=22，PC=3
∴OC=BO＝2
在△PAC∽△OEC中，OEOC＝PAPC⇒OE2＝13⇒OE＝23
∴tan∠BEO＝BOOE＝3
∴二面角B-PC-A的平面角的正切值为3
最终答案：略

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