数学穿根法
来源:学生作业帮 编辑:百度作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/29 01:32:17
数学穿根法
![数学穿根法](/uploads/image/z/16221096-0-6.jpg?t=%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%A9%BF%E6%A0%B9%E6%B3%95)
解题思路: “穿根法”,是解高次不等式、或分式不等式中常用的一种方法。所谓“穿根法”,其本质是图像法,——即一个高次多项式函数f(x)的大体图像,根据图像在x轴的上方、下方的分布,直接写出不等式的解集。而在画图像之前,这个“高次多项式函数f(x)”必须是分解因式后完全确定零点(根)的形式,而且画图像时省略y轴,也省略了x轴的箭头及标注(实际上,水平直线代表x轴,曲线代表函数图像)。
解题过程:
“穿根法”,是解高次不等式、或分式不等式中常用的一种方法。 所谓“穿根法”,其本质是图像法,——即一个高次多项式函数f(x)的大体图像,根据图像在x轴的上方、下方的分布,直接写出不等式的解集。而在画图像之前,这个“高次多项式函数f(x)”必须是分解因式后完全确定零点(根)的形式,而且画图像时省略y轴,也省略了x轴的箭头及标注(实际上,水平直线代表x轴,曲线代表函数图像)。 例1:解不等式:x-3 > 0
解:不等式x-3>0的解集为 (3, +∞) 【注:本题的图像本应是直线】 例2:解不等式:
解:不等式
的解集为 [-1, 2] 【注:本题的图像本应是抛物线】 例3:解不等式:
解:不等式
的解集为
例4:解不等式:
解:不等式
的解集为
【说明】:写解集时,注意每个区间的端点处带不带等号(即:区间是开?还是闭?) 以上是高次整式“无重根”时的情形——遇根直接穿过。若有重根,则“偶次重根穿而不过,奇次重根照常穿过”。 例5:解不等式:
解:不等式
的解集为
【为什么“偶次重根穿而不过,奇次重根照常穿过”?,——请想象一下:在“-1”这一个点处连续穿过三次会是什么样子?在5这一个点处连续穿过4次会是什么样子?】 以上是整式不等式,若是分式不等式,则要先等价转化为整式不等式,然后再用穿根法。分式不等式的解法步骤(见下页): 移项; 通分; 分解; “商”变“积”(同时因式排序); 穿根写解集 例6:解不等式 ![](http://img.wesiedu.com/upload/1/08/108bd8d6162918fb28f6de4778a2ed3a.gif)
解:
, 移项![](http://img.wesiedu.com/upload/1/25/1252bc55461867bae3e1ed6121556ae9.gif)
, 通分![](http://img.wesiedu.com/upload/1/25/1252bc55461867bae3e1ed6121556ae9.gif)
, 分解![](http://img.wesiedu.com/upload/1/25/1252bc55461867bae3e1ed6121556ae9.gif)
, 商变积![](http://img.wesiedu.com/upload/1/25/1252bc55461867bae3e1ed6121556ae9.gif)
【商>0与 积>0等价】 穿根写解集,解集为
【请理解上述过程中的每个“
”所对应的步骤,以后解题时,文字不必写出。】 【注】:分解因式“商变积”后的结果,必须要求x的系数全为“+1”,且根的顺序由小到大,画图时,先在数轴上标注所有的“根”(零点),然后从最右侧上方开始往左按照穿根规则进行画图。 例7:解不等式
【与上题相比,不等号方向变了,并且带“等号” 】 解:
,
,
,
,
【这里有什么变化?】 解集为
【分子、分母对应的根可在上图中的数轴上分别用实点、虚点表示;写解集时,实点处写成闭区间,虚点处写成开区间。】 例8:解x的不等式
【含字母系数a,需分类讨论】 解:
,
,
,
,
【 让“
”在x轴上游走,自左至右,共分为共7种情况(分别为:
与三个点重合,
在四个区间内 ): 当
与某个点重合时,图像在此点与x轴相切(穿而不过) 写解集的时候,要仔细地注意每个分点是“开”还是“闭” !!!!!】
(1)若
,则 根序为 –a, -1, 0, 2, 【图,你自己画一下 】 即
时, 解集为
(2)若
,则 根序为 –1, –1, 0, 2, 【注:–1处穿而不过 】
即
时, 解集为
(3)若
,则 根序为 ………… (4)………… (5)………… (6)………… (7)………… 【你自己补充完善吧,借以熟悉一下这种解法的思想和过程】 正规解答如下: 解x的不等式
解:
,
,
,
,
1)若
, 即
时,解集为
2)若
, 即
时,解集为
3)若
, 即
时,解集为
4)若
, 即
时,解集为
5)若
, 即
时,解集为
6)若
, 即
时,解集为
7)若
, 即
时,解集为
【注】: 分类的标准是
与其它几个“根”的大小,但是最后回答解集的时候,分类条件必须是“当
…时,解集为……”
解题过程:
“穿根法”,是解高次不等式、或分式不等式中常用的一种方法。 所谓“穿根法”,其本质是图像法,——即一个高次多项式函数f(x)的大体图像,根据图像在x轴的上方、下方的分布,直接写出不等式的解集。而在画图像之前,这个“高次多项式函数f(x)”必须是分解因式后完全确定零点(根)的形式,而且画图像时省略y轴,也省略了x轴的箭头及标注(实际上,水平直线代表x轴,曲线代表函数图像)。 例1:解不等式:x-3 > 0
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