设A为一N阶普通矩阵,试证与A交换的矩阵一定为N阶对角矩阵

来源：学生作业帮编辑：百度作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/08/20 02:25:53

这个命题必然是错的,与给定的矩阵A可交换的矩阵不一定是对角阵
比如
A=
1 2
3 4
A和A本身显然可交换
合理的修正是,与所有N阶方阵都可交换的矩阵一定是N阶对角阵（其实一定是N阶纯量阵,即单位阵的倍数）
再问：我懂了，那可不可以告诉我你说的这种情况下的证明过程呢？谢谢
再答：先分析A=E(i,j)的情况，E(i,j)是只有(i,j)位置为1，其余元素都为0的矩阵，比较AX=XA可以得到X的结构取遍所有的E(i,j)就能得到结论
再问：高手，你说的我还是不太懂，我是大一新生，可以再详细些吗，谢谢
再答：用乘法的定义，把E(i,j)*X和X*E(i,j)算出来看就知道了，自己动手算

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