求微分方程xy''-2y'=x^3+x的通解
来源:学生作业帮 编辑:百度作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/19 06:23:46
求微分方程xy''-2y'=x^3+x的通解
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y''-2/x*y'=x^2+x
因为(ye^f(x))'=e^f(x)*(y'+yf'(x))
所以考虑∫-2/xdx=-2ln|x|+C,e^(-2ln|x|)=1/x^2
所以(y''-2/x*y')/x^2=1+1/x
(y'/x^2)'=1+1/x
两边积分:y'/x^2=x+ln|x|+C1
即y'=x^3+x^2ln|x|+C1x^2
两边积分:y=∫x^3dx+∫x^2ln|x|dx+C1∫x^2dx
=3/4x^4+C1/3x^3+1/3∫ln|x|d(x^3)
=3/4x^4+C1/3x^3+x^3/3ln|x|-1/3∫x^3*1/xdx
=3/4x^4+C1/3x^3+x^3/3ln|x|-x^3/9+C2
=3/4x^4+x^3/3*ln|x|+C1x^3+C2
因为(ye^f(x))'=e^f(x)*(y'+yf'(x))
所以考虑∫-2/xdx=-2ln|x|+C,e^(-2ln|x|)=1/x^2
所以(y''-2/x*y')/x^2=1+1/x
(y'/x^2)'=1+1/x
两边积分:y'/x^2=x+ln|x|+C1
即y'=x^3+x^2ln|x|+C1x^2
两边积分:y=∫x^3dx+∫x^2ln|x|dx+C1∫x^2dx
=3/4x^4+C1/3x^3+1/3∫ln|x|d(x^3)
=3/4x^4+C1/3x^3+x^3/3ln|x|-1/3∫x^3*1/xdx
=3/4x^4+C1/3x^3+x^3/3ln|x|-x^3/9+C2
=3/4x^4+x^3/3*ln|x|+C1x^3+C2
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