A是复矩阵,B是幂零矩阵,且AB=BA 证明 /A+2010B/=/A/ 行列式值相等
来源:学生作业帮 编辑:百度作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/31 14:51:52
A是复矩阵,B是幂零矩阵,且AB=BA 证明 /A+2010B/=/A/ 行列式值相等
就不说2010B了,要证明|A+B|=|A|,其中B幂零,AB=BA.不妨假设B已经是Jordan型,否则以T^(-1)BT代替B,同时以T^(-1)AT代替A,使得新的B是Jordan型.当然这时并不知道A是不是Jordan型.这时B的主对角线上元素全是0(因为B幂零),次对角线上可以有0或者1(次对角线是指主对角线上面的那条).
同样的道理,除非B=0(这就没得可证了),否则可以假定
(*) B的次对角线最右下的那个元素是1而不是0(只要通过共轭来调整B的Jordan块的次序),
这一点,以及AB=BA,将在最后一起使用(如果B只有一个Jordan块的话,直接用AB=BA可以说明A是B的多项式,所以是上三角的;不过现在B可以有好多Jordan块,这时A不一定是上三角的,所以说起来麻烦一点).
对A、B的阶(我是指矩阵的个头)进行归纳.2阶矩阵的话,在B化为Jordan型之后可以直接验证.假如对(n-1)阶及以下的矩阵都对,那么把|A+B|按第一列展开,和把|A|按第一列展开进行对比.当你在这个第一列里取的元素不是最下面那个元素的时候,它在|A+B|中的余子式矩阵和在|A|中的余子式矩阵差一个幂零的(n-1)矩阵,所以这两个余子式,按归纳假设,是相等的.当你在第一列里取的元素是最下面那个元素的时候,它在|A+B|中的余子式矩阵不一定和在|A|中的只差一个幂零矩阵,但是利用AB=BA和上一段开头的(*)那个假定,考虑AB和BA的第一列的倒数第二个元素,可以直接说明A的第一列的最后一个元素是0.这样|A+B|=|A|.
同样的道理,除非B=0(这就没得可证了),否则可以假定
(*) B的次对角线最右下的那个元素是1而不是0(只要通过共轭来调整B的Jordan块的次序),
这一点,以及AB=BA,将在最后一起使用(如果B只有一个Jordan块的话,直接用AB=BA可以说明A是B的多项式,所以是上三角的;不过现在B可以有好多Jordan块,这时A不一定是上三角的,所以说起来麻烦一点).
对A、B的阶(我是指矩阵的个头)进行归纳.2阶矩阵的话,在B化为Jordan型之后可以直接验证.假如对(n-1)阶及以下的矩阵都对,那么把|A+B|按第一列展开,和把|A|按第一列展开进行对比.当你在这个第一列里取的元素不是最下面那个元素的时候,它在|A+B|中的余子式矩阵和在|A|中的余子式矩阵差一个幂零的(n-1)矩阵,所以这两个余子式,按归纳假设,是相等的.当你在第一列里取的元素是最下面那个元素的时候,它在|A+B|中的余子式矩阵不一定和在|A|中的只差一个幂零矩阵,但是利用AB=BA和上一段开头的(*)那个假定,考虑AB和BA的第一列的倒数第二个元素,可以直接说明A的第一列的最后一个元素是0.这样|A+B|=|A|.
设A、B是N阶矩阵证明AB BA行列式 =A+B行列式乘以 A-B行列式 要用到分块矩阵的那个公式
设AB是N阶矩阵 证明AB BA行列式 =A+B行列式乘以 A-B行列式 要用到分块矩阵以及那个公式
线性代数:设A是m*n矩阵,B是n*m矩阵,证明:Em-AB的行列式与En-BA的行列式相等
设A,B是n阶矩阵,E是n阶单位矩阵,且AB=A-B证明A+E可逆,证明AB=BA
A,B是正定矩阵 AB=BA 证明AB也为正定矩阵
线性代数中|AB|=|A||B|相等吗?期中A,B是矩阵,|A|表示矩阵A的行列式
设A是实可逆对称矩阵,B是反对称矩阵且AB=BA证明A+B是可逆矩阵
A,B为n阶矩阵且A+B=E,证明AB=BA
若A,B都是正规矩阵,且AB=BA,如何证明“AB和BA都是正规矩阵”
请问矩阵A乘以矩阵B的行列式等于矩阵B乘以矩阵A的行列式吗?也就是说|AB|=|BA|吗?
设A,B均为n阶矩阵.证明:分块矩阵AB BA是可逆矩阵当且仅当A+B A-B均为可逆矩阵
已知矩阵A,B满足AB=BA,证明:A,B是同级方阵