若f(x)=ln(x+a)+x^2存在极值,求a的范围,并证明所有极值之和大于ln(e/2)
来源:学生作业帮 编辑:百度作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/17 02:37:08
若f(x)=ln(x+a)+x^2存在极值,求a的范围,并证明所有极值之和大于ln(e/2)
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对f(x)=ln(x+a)+x^2求导得:
f'(x)=1/(x+a)+2x
令f'(x)=0 化简得到关于x的方程x^2+ax+1/2=0 [*].当方程有解时,设它的两个根是p,q,由根与系数关系:p+q=-a,pq=(1/2)
要使方程有解必须使a^2-4*1*(1/2)>=0
即|a|>=根号2;
还要使x+a=-1/(2x)>0(使对数式有意义),所以方程至少有一个负根,而由pq=1/2知道两根同号,由p+q=-a知道a必须是正数
所以a的取值范围是a>=根号2.
若a=根号2,方程[*]只有一个根(是重根)p=q=(根号2)/2,此时极值之和为f((根号2)/2)=(1/2)ln(e/2)根号2时,p不等于q,极值之和
f(p)+f(q)
=ln(p+a)+p^2+ln(q+a)+q^2
=ln[(p+a)(q+a)]+p^2+q^2
=ln[pq+a(p+q)+a^2]+(p+q)^2-2pq
=ln[(1/2)+a(-a)+a^2]+(-a)^2-2*(1/2)
=ln(1/2)+a^2-1
>ln(1/2)+2-1=ln(e/2)
证完.
f'(x)=1/(x+a)+2x
令f'(x)=0 化简得到关于x的方程x^2+ax+1/2=0 [*].当方程有解时,设它的两个根是p,q,由根与系数关系:p+q=-a,pq=(1/2)
要使方程有解必须使a^2-4*1*(1/2)>=0
即|a|>=根号2;
还要使x+a=-1/(2x)>0(使对数式有意义),所以方程至少有一个负根,而由pq=1/2知道两根同号,由p+q=-a知道a必须是正数
所以a的取值范围是a>=根号2.
若a=根号2,方程[*]只有一个根(是重根)p=q=(根号2)/2,此时极值之和为f((根号2)/2)=(1/2)ln(e/2)根号2时,p不等于q,极值之和
f(p)+f(q)
=ln(p+a)+p^2+ln(q+a)+q^2
=ln[(p+a)(q+a)]+p^2+q^2
=ln[pq+a(p+q)+a^2]+(p+q)^2-2pq
=ln[(1/2)+a(-a)+a^2]+(-a)^2-2*(1/2)
=ln(1/2)+a^2-1
>ln(1/2)+2-1=ln(e/2)
证完.
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已知函数f(x)=ln(x+a)-x^2-x在x=0取得极值,
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