设点E是平行四边形ABCD的边AB的中点,F是BC边上一点,线段DE和AF相交于点P,点Q在线段DE上,且AQ∥PC.
来源:学生作业帮 编辑:百度作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/19 04:29:03
设点E是平行四边形ABCD的边AB的中点,F是BC边上一点,线段DE和AF相交于点P,点Q在
线段DE上,且AQ∥PC.
(1)证明:PC=2AQ.
(2)当点F为BC的中点时,试比较△PFC和梯形APCQ面积的大小关系,并对你的结论加以证明.
![](http://img.wesiedu.com/upload/b/6b/b6bff2322446aa2f42d4236bff16ab1a.jpg)
(1)证明:PC=2AQ.
(2)当点F为BC的中点时,试比较△PFC和梯形APCQ面积的大小关系,并对你的结论加以证明.
![设点E是平行四边形ABCD的边AB的中点,F是BC边上一点,线段DE和AF相交于点P,点Q在线段DE上,且AQ∥PC.](/uploads/image/z/16544891-11-1.jpg?t=%E8%AE%BE%E7%82%B9E%E6%98%AF%E5%B9%B3%E8%A1%8C%E5%9B%9B%E8%BE%B9%E5%BD%A2ABCD%E7%9A%84%E8%BE%B9AB%E7%9A%84%E4%B8%AD%E7%82%B9%EF%BC%8CF%E6%98%AFBC%E8%BE%B9%E4%B8%8A%E4%B8%80%E7%82%B9%EF%BC%8C%E7%BA%BF%E6%AE%B5DE%E5%92%8CAF%E7%9B%B8%E4%BA%A4%E4%BA%8E%E7%82%B9P%EF%BC%8C%E7%82%B9Q%E5%9C%A8%E7%BA%BF%E6%AE%B5DE%E4%B8%8A%EF%BC%8C%E4%B8%94AQ%E2%88%A5PC%EF%BC%8E)
(1)证明:
证法一:延长DE,CB,相交于点R,作BM∥PC,交DR于点M.
∵AQ∥PC,BM∥PC,
∴MB∥AQ.
∴∠AQE=∠EMB
∵E是AB的中点,D、E、R三点共线,∴AE=EB,∠AEQ=∠BEM.
∴△AEQ≌△BEM.
∴AQ=BM.
同理△AED≌△BER.
∴AD=BR=BC.
∵BM∥PC,
∴△RBM∽△RCP,相似比是1:2.
∴PC=2MB=2AQ.
证法二:连接AC,交PQ于点K,易证△AKE∽△CKD,
∴
AE
DC=
AK
KC=
1
2.
∵AQ∥PC.
∴△AKQ∽△CKP.
∵
AK
KC=
1
2,
∴
AQ
PC=
1
2,
即PC=2AQ.
(2)S△PFC=S梯形APCQ.
作BN∥AF,交RD于点N.
∴△RBN∽△RFP.![](http://img.wesiedu.com/upload/8/4e/84e3f7d39b7f54df5e7a4d37e1f4bf78.jpg)
∵△RBM∽△RCP,相似比是1:2,
∴RB:RC=1:2,即B为RC的中点,
∴RB=BC,又F是BC的中点,
∴RB=
2
3RF.
∴
BN
PF=
RB
RF=
2
3.
易证△BNE≌△APE.
∴AP=BN.
∴AP=
2
3PF.
因PFC(视PC为底)与梯形APCQ的高的比等于△PFC与△PQC中PC边上的高的比,
易知等于PF与AP的比,于是可设△PFC中PC边上的高h1=3k,梯形APCQ的高h2=2k.再设AQ=a,则PC=2a.
∴S△PFC=
1
2×2ah1=3ka,
S梯形APCQ=
1
2(AQ+PC)h2=
1
2(a+2a)•2k=3ka.
因此S△PFC=S梯形APCQ.
证法一:延长DE,CB,相交于点R,作BM∥PC,交DR于点M.
∵AQ∥PC,BM∥PC,
∴MB∥AQ.
∴∠AQE=∠EMB
∵E是AB的中点,D、E、R三点共线,∴AE=EB,∠AEQ=∠BEM.
∴△AEQ≌△BEM.
∴AQ=BM.
同理△AED≌△BER.
∴AD=BR=BC.
∵BM∥PC,
∴△RBM∽△RCP,相似比是1:2.
∴PC=2MB=2AQ.
证法二:连接AC,交PQ于点K,易证△AKE∽△CKD,
∴
AE
DC=
AK
KC=
1
2.
∵AQ∥PC.
∴△AKQ∽△CKP.
∵
AK
KC=
1
2,
∴
AQ
PC=
1
2,
即PC=2AQ.
(2)S△PFC=S梯形APCQ.
作BN∥AF,交RD于点N.
∴△RBN∽△RFP.
![](http://img.wesiedu.com/upload/8/4e/84e3f7d39b7f54df5e7a4d37e1f4bf78.jpg)
∵△RBM∽△RCP,相似比是1:2,
∴RB:RC=1:2,即B为RC的中点,
∴RB=BC,又F是BC的中点,
∴RB=
2
3RF.
∴
BN
PF=
RB
RF=
2
3.
易证△BNE≌△APE.
∴AP=BN.
∴AP=
2
3PF.
因PFC(视PC为底)与梯形APCQ的高的比等于△PFC与△PQC中PC边上的高的比,
易知等于PF与AP的比,于是可设△PFC中PC边上的高h1=3k,梯形APCQ的高h2=2k.再设AQ=a,则PC=2a.
∴S△PFC=
1
2×2ah1=3ka,
S梯形APCQ=
1
2(AQ+PC)h2=
1
2(a+2a)•2k=3ka.
因此S△PFC=S梯形APCQ.
已知正方形ABCD的边AB是圆O的直径,点E是BC边上一点,若点F是线段DE的中点,且OF=DF,DE与圆O相切于点G.
如图,E,F分别是平行四边形ABCD的边AB,CD上的点,AF与DE相交于点P,BF与CE相交于点Q,若S△APD=15
如图,E.F分别是平行四边形ABCD的边AB.C上的点,AF与DE相交于点P,BF与CE于点Q若S三角形APD=15,S
如图,E,F分别是平行四边形ABCD的边AB,CD上的点,AF与DE相交于点P,BF与CE相交于点P,BF与CE相交于点
如图,在平行四边形ABCD中,E、F分别是AB、CD的中点,AF于DE相交于点G,CE于BF相交于点H.
如图,在平行四边形ABCD中,E、F分别是AB、CD的中点,AF与DE相交于点G,CE与BF相交于点H.
平行四边形ABCD中,E,F分别是AB,CD的中点,AF与DE相交于点G,CE与BF相交于点H
19.如图,已知E,F分别是平行四边形ABCD的边BC,CD中点,AF与DE相交于点G,若 ,,则 用 表示为_____
已知:如图,在平行四边形ABCD中,E,F分别是AB,CD上的两点,且AE=CF,AF,DE相交于点M,B
四边形ABCD为正方形,点P是BC边上任意一点,DE垂直AB于E,BF垂直AP于F则线段AF,BF,EF的数量关系为?
速度速度,初中数学已知E,F分别为平行四边形ABCD的边AB、CD上的点,AF与DE相交于点P,BF与CE相交于点Q,若
如图所示,ABCD是平行四边形,面积是1,F为DC边上的一点,E为AB上的一点,连接AF,BF,DE,CE,AF交DE于