一个线性代数问题α,β为非零正交的n 维列向量,A为n 阶矩阵,第一行为1+a1·b1 a1·b2……a1·bn 第二行

来源：学生作业帮编辑：百度作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/08/09 16:39:17

一个线性代数问题
α,β为非零正交的n 维列向量,A为n 阶矩阵,第一行为1+a1·b1 a1·b2……a1·bn 第二行为a2·b1 1+a2·b2……a2·bn ,下面依次类推.求行列式A和A的n次方.
我开始也想到了用二项式定理，但是未想到用结合律，所以放弃了。不过，你也说了中间括号项都是一个数，不就是零吗？所以k≥2的项都是零矩阵，于是An=I+nαβT。是这样的吧？
一个矩阵A的某特征值对应的特征向量是不是就是Ax=0的一个特解？特征向量和解之间有什么关联吗？

不好意思,有点笔误,应该是αβ^T,而不是α^Tβ
你说的对,我做着做着就忘了=0了,这样的话运算更简单了.
另外,你的问题:“一个矩阵A的某特征值对应的特征向量是不是就是Ax=0的一个特解?”
答：不是这样的,我不知道是不是你笔误了.对应于特征值a的特征向量,应该是(A-aI)x=0的解才对.
因为如果x是对应于特征值a的特征向量,则有Ax=ax,将其移项就是(A-aI)x=0
“特征向量和解之间有什么关联吗?”
答：两者是同一个意思,原因可以从上面的问题看出来,就是移项而已,两者本质是相同的.
你注意题目的叙述会发现,当题目要求对应于某个特征值的特征向量的时候,它必定会说“求对应于特征值a的线性无关的特征向量”.之所以加上“线性无关”这四个字,就是为了严谨.
我们知道,如果x是特征向量,那么kx也是特征向量,因为A(kx)=k(Ax)=k(ax)=a(kx).
这样一来一个矩阵的特征向量就有无数个了.但是它们都是线性相关的,只不过成了一个系数k而已.
所以题目中写“求线性无关的特征向量”,就是为了避免我上面所说的问题.是数学逻辑严谨的表现.

n阶非奇异矩阵A的列向量为a1,a2...an,n阶矩阵B的列向量为b1 b2...bn若b1=a1+a2...bn=a 设A为n阶矩阵,r(A)=1,求证：(1)A=(a1 a2 .an)（列向量）*（b1,b2.bn ) (2) A^2= 线性代数简单证明设向量组a1,a2,an为n维向量组,B1=a1+a2,B2=a2+a3,…Bn=an+a1证1●当n为设a1,a2为n维列向量,A为n阶正交矩阵,证明[Aa1,Aa2]=[a1,a2] 设a1,a2为n维列向量,A为n阶正交矩阵,证明:(1)[Aa1,Aa2]=[a1,a2] (2){Aa1}={a1} 设向量a=（a1,a2,……an)T,b=(b1,b2...bn)T 都是非零向量,且aT*b=0,记n阶矩阵A=a*b 不用向量组内积等知识,求证设A为n阶矩阵,r(A)=1,求证：(1)A=(a1 a2 .an)列向量*（b1,b2.bn 矩阵论证明题设A,B为复空间的n阶矩阵,A、B的特征值分别为a1,a2,...,an和b1,b2,...,bn,用Sch 设向量a=（a1,a2,……an）的转置,b=(b1,b2...bn)的转置都是非零向量,且a的转置*b=0,记n阶矩设A为n阶矩阵,a1,a2,a3是n维列向量,且a1不等于0,Aa1=a1,Aa2=a1+a2,A 设U是正交矩阵,a1,a2,...,an是U的列向量,b1,b2,...,bn是U的行向量,则当i 不等于j, =什么? 证明以A(a1,a2),B(b1,b2),C(c1,c2)为定点的三角形面积公式为第一行为1 a1 a2,第二行为1 b