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如图,在三角形ABC中,AB=4,AC=6,BC=5,O、I分别为三角形ABC的外心和内心,求证：OI垂直AK

来源：学生作业帮 编辑：百度作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/30 18:23:10
如图,在三角形ABC中,AB=4,AC=6,BC=5,O、I分别为三角形ABC的外心和内心,求证：OI垂直AK
图片上传不了,解释下k是AI连接并延长交圆上的点
如图,在三角形ABC中,AB=4,AC=6,BC=5,O、I分别为三角形ABC的外心和内心,求证：OI垂直AK
/>设AK与BC的交点为E.根据角分线性质可知BE:EC=AB:AC=2:3,而BE+EC=5,解得BE=2,EC=3
如图,分别取AB、AC中点D、F,连接DI、DO、DF、OA、OF
∵BD=AB/2=2,∴BD=BE.又∵I是内心,∴BI是∠ABC的平分线,于是ΔBDI≌ΔBEI(角边角)于是ID=IE.设ID=IE=x
根据角分线性质可知AI:IE=AB:BE=2,于是AI=2IE=2x,AE=3x
∵AB:AI=4:(2x)=2:x,AC:AE=6:(3x)=2:x,∴AB:AI=AC:AE又∵∠BAI=∠CAE,∴ΔBAI∽ΔCAE,∴∠ABI=∠ACB,BI:AB=CE:CA=1/2,即BI=2∴BI=BD=BE,∠BDI=∠BID=∠BIE
于是∠ABI=180°-∠BDI-∠BID=180°-∠BIE-∠BID=∠AID于是∠AID=∠ABI=∠ACB
∵D、F是AB、AC中点,∴DF∥BC,∴∠AFD=∠ACB
∵O是ΔABC的外接圆心,D是外接圆的弦的中点,∴OD⊥AB,同理OF⊥AC于是A、D、O、F四点共圆,∴∠AOD=∠AFD=∠ACB
于是∠AID=∠AOD,∴A、D、I、O四点共圆∴∠AIO=∠ADO=90°,即OI垂直AK
已知三角形ABC中,O、I为其外心和内心,角C=30度,D、E分别为AC和BC上两点,且AD=AB=BE,求证：OI=D 已知△ABC中,O为外心,I为内心,且AB+AC=2BC．求证：OI⊥AI（图）． 如图,三角形ABC是锐角三角形,I为圆心,O为外心,若OI垂直AI,AB=4,求BE的长 如图,在三角形abc中,ab=ac,d是bc的中点.（1）求证:三角形abc全等三角形acd.（2）求证:ad垂直bc. 如图,O为三角形ABC的外心,AB=4,AC=2, 在三角形ABC中,AB=3,AC=5,若O为三角形ABC的外心,则向量AO乘向量BC= 如图,已知在三角形ABC中,AB=AC,O是三角形ABC内一点.且AO垂直BC,求证:OB=OC. 如图,在三角形abc中,ab=ac,o是三角形abc内一点,且ob=oc,求证ao垂直bc. O是三角形ABC外心I是三角形ABC内心 AI交三角形ABC的外接圆于E交BC于D,求证BE=IE 在三角形ABC中,AB=2,AC=1,O为三角形ABC的外心,则向量AO*向量BC= 在三角形ABC中,AB=3,BC=根号7,若O为三角形ABC的外心,则向量OB乘以向量AC= 如图,在三角形ABC中,AB=AC,以AC为直径作圆O交BC于点D,作DE垂直AB于点E,求证：DE是圆O的切线