将边长为2a的一块正方形铁皮的四角各截去一个大小相同的小正方形,然后将四边折起做成一个无盖的方盒.欲使所得的方盒有最大容
来源:学生作业帮 编辑:百度作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/08 11:03:17
将边长为2a的一块正方形铁皮的四角各截去一个大小相同的小正方形,然后将四边折起做成一个无盖的方盒.欲使所得的方盒有最大容积,截去的小正方形的边长应为多少?方盒的最大容积为多少?
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设小正方形的边长为x,则盒底的边长为2a-2x,
由于2a-2x>0,则x∈(0,a),
且方盒是以边长为2a-2x的正方形作底面,高为x的正方体,
其体积为V=x(2a-2x)2,(x∈(0,a))
V'=(2a-2x)(2a-6x),令V'=0,则x1=a,x2=
a
3,
由x1=a∉(0,a),且对于x∈(0,
a
3),V′>0,x∈(
a
3,a),V′<0,
∴函数V在点x=
a
3处取得极大值,由于问题的最大值存在,
∴V(
a
3)=
16a3
27即为容积的最大值,此时小正方形的边长为
a
3.
由于2a-2x>0,则x∈(0,a),
且方盒是以边长为2a-2x的正方形作底面,高为x的正方体,
其体积为V=x(2a-2x)2,(x∈(0,a))
V'=(2a-2x)(2a-6x),令V'=0,则x1=a,x2=
a
3,
由x1=a∉(0,a),且对于x∈(0,
a
3),V′>0,x∈(
a
3,a),V′<0,
∴函数V在点x=
a
3处取得极大值,由于问题的最大值存在,
∴V(
a
3)=
16a3
27即为容积的最大值,此时小正方形的边长为
a
3.
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