已知数列{An}中,A1=1,nA[n+1]=(n+2)A[n]+n,求An通项公式
来源:学生作业帮 编辑:百度作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/31 00:30:34
已知数列{An}中,A1=1,nA[n+1]=(n+2)A[n]+n,求An通项公式
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这道题用数学归纳法确实比正面证明要简单些,但不等于正面证明就是无路可走的.
由原递推式递推下一项,就有(n-1)A[n]=(n+1)A[n-1]+(n-1),然后与原递推式联立,两式相减,化简一下,就得nA[n+1]=(2n+1)A[n]-(n+1)A[n-1]+1,然后整理一下,
就有n(A[n+1]-A[n])=(n+1)(A[n]-A[n-1])+1,令B[n]=A[n+1]-A[n],则
nB[n]=(n+1)B[n-1]+1,所以B[n]+1=[(n+1)B[n-1]+1+n]/n=[(n+1)(B[n-1]+1)]/n,
所以(B[n]+1)/(n+1)=(B[n-1]+1)/n=(B[1]+1)/2,
因为已知A[1]=1,A[2]=4,所以B[1]=3,所以B[n]=2n+1,即A[n+1]-A[n]=2n+1
利用叠加法就得A[n+1]-A[1]=n(n+2),所以A[n]=(n-1)(n+1)+A[1]=n^2-1+1=n^2.
正面证明的过程就是这样.本人喜好先考虑正面走,实在行不通才考虑数学归纳法,因为正面证明往往可以看出一个人的思维水平,但如果考试的时候遇上了,建议假如3分钟正面走不通,就赶紧向数学归纳法求助了,这样比较省时.这就要看你自己的水平和决策能力了.
(PS:如果我的回答被您采纳,麻烦记得追加至少10分哦,
由原递推式递推下一项,就有(n-1)A[n]=(n+1)A[n-1]+(n-1),然后与原递推式联立,两式相减,化简一下,就得nA[n+1]=(2n+1)A[n]-(n+1)A[n-1]+1,然后整理一下,
就有n(A[n+1]-A[n])=(n+1)(A[n]-A[n-1])+1,令B[n]=A[n+1]-A[n],则
nB[n]=(n+1)B[n-1]+1,所以B[n]+1=[(n+1)B[n-1]+1+n]/n=[(n+1)(B[n-1]+1)]/n,
所以(B[n]+1)/(n+1)=(B[n-1]+1)/n=(B[1]+1)/2,
因为已知A[1]=1,A[2]=4,所以B[1]=3,所以B[n]=2n+1,即A[n+1]-A[n]=2n+1
利用叠加法就得A[n+1]-A[1]=n(n+2),所以A[n]=(n-1)(n+1)+A[1]=n^2-1+1=n^2.
正面证明的过程就是这样.本人喜好先考虑正面走,实在行不通才考虑数学归纳法,因为正面证明往往可以看出一个人的思维水平,但如果考试的时候遇上了,建议假如3分钟正面走不通,就赶紧向数学归纳法求助了,这样比较省时.这就要看你自己的水平和决策能力了.
(PS:如果我的回答被您采纳,麻烦记得追加至少10分哦,
.感激= 已知数列{an}中,a1=3,an=(2^n)*a(n-1) (n》2,n∈N*)求数列an通项公式
已知在数列An中,A1=2 A(n+1)=An+n 求An的通项公式
已知数列a1=2,a(n+1)=an+1/n(n+2) 求an的通项公式
在数列an中,a1=1,且an=(n/(n-1))a(n-1)+2n*3的(n-2)次方 求an通项公式
若在数列{An}中,a1=3,A(n+1)=An+2n,求An通项公式?
数列an中 a1=1 a(n+1)=2an\(an+2) 求数列通项公式an
已知数列的前n项和sn,若a1=2,na(n+1)=sn+n(n+1),求an通项公式 用累加法
已知数列{an}满足a1=1,an=4a(n-1)/[2a(n-1)+1] (n>=2)求数列{an}的通项公式
已知数列{an}中,a1=1,2an-2a(n-1)=3^n,求数列{an}的通项公式.
已知数列{an}中a1=3,2an=2a(n-1)+n,求数列{an}的通项公式
已知数列{an}中,a1=1,a^n=2a^(n-1)(下标)+2的n次方((n≥2,n∈N+),求数列{an的通项公式
已知数列{an}满足a1=1,an=(an-1)/3an-1+1,(n>=2,n属于N*),求数列{an}的通项公式