设函数f（x）=－（1／2）x²+13／2的定义域和值域分别是[a,b]和[2a,2b],求a,b的值

来源：学生作业帮编辑：百度作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/08/12 09:19:44

思路：分情况讨论
易知,f（x）图象关于y轴对称,f（x）在（-∞,0）上单调递增,在[0,+∞）上单调递减
情况（1）若0＜a＜b,f（a）＞f（b）
则f（a）=2b,f（b）=2a
即-1/2 a²+13/2=2b —— ——①
-1/2 b²+13/2=2a—— ——②
由①得 b=-1/4 a²+13/4
代入②,得-1/2（-1/4 a²+13/4）²+13/2=2a
化简,得 a^4-26a²+64a-39=0————③
这个方程不好解,采取分解因式法.
设g（a）=a^4-26a²+64a-39,则方程③即为g（a）=0
先将39分解因数,39=3×13,将a=3代入g（a）,可得g（3）=0
说明a=3是方程③的一个根
∴g（a）=（a-3）×A （A是代数式）
g（a）=（a^4-3a³）+（3a³-9a²）-（17a²-51a）+（13a-39）
=（a-3）a³+3（a-3）a²-17（a-3）a+13（a-3）
=（a-3）（a³+3a²-17a+13）
∴上述的A=a³+3a²-17a+13
同理,A=（a-1）（a²+4a-13）
解方程 a²+4a-13=0
得a1=-2+√17,a2=-2-√17
∴g（a）=（a-3）（a-1）[a-（-2+√17）] [a-（-2-√17）]
∴方程g（a）=0的根为
a1=3 a2=1 a3=-2+√17 a4=-2-√17
又a＞0,∴a＝3,1,-2+√17
若a=3 代入方程①,解得b=1＜a（舍去）
若a=1 代入①,得b=3 ∴a=1,b=3是一组解
若a=-2+√17,解得b=-2+√17=a
严格地讲,此时[a,b]不是一个区间,而是一个点,∴舍去
情况（2）若a＜0＜b
则f（0）=2b,f（a）=2a或f（b）=2a
则b=13/4 ∴f（b）=39/32
情况① 若f（a）=2a
即-1/2a²+13/2=2a且应满足f（a）≤f（b）
解得a1=-2+√17＞0（舍去）,a2=-2-√17
此时满足f（a）＜f（b）
情况②若f（b）=2a 则应满足f（b）≤f（a）
a=39/64＞0（舍去）
情况（3）若a＜b＜0 则f（a）＜f（b）
∴f（a）=2a,f（b）=2b
即-1/2a²+13/2=2a
-1/2b²+13/2=2b
分别解之,得a1=-2+√17＞0（舍去）,a2=-2-√17
b1=-2+√17＞0（舍去）,b2=-2-√17=a（舍去）
综上所述,a=1,b=3或a=-2-√17,b=13/4
注：若题目改为“定义域为{x|a≤x≤b}、值域为{y|2a≤y≤2b}”
则a=b=-2+√17或a=b=-2-√17也可作为解

设函数f(x)=-1/2x²-13/2的定义域和值域分别是[a,b]和[2a,2b]（其中a＜b）求ab的值设函数f(x)=(-1/2)x^2+(13/2)的定义域和值域分别是[a,b]和[2a,2b],求a、b的值设函数f（x）=|2x-1|的定义域和值域都是[a，b]（b＞a），则a+b=______．若函数f（x）=1/2x^2-x+a的定义域和值域均为[1,b](b>1),求a,b的值已知函数f（x）=ax²+bx+3a+b为偶函数,其定义域为[a-1,2a],求f(x)的值域已知函数f(x)=0.5x²-x+a的定义域和值域都是1,b(b>1),求a,b的值若函数f(X)=1/2(x-1)^2+a的定义域和值域都是[1,b](b>),求a,b的值. 已知函数f(X)=asin(2X-π/3）+b的定义域为【[0,π/2],值域为[-5,1],求a和b的值若函数y=1/2x²-x+3/2的定义域和值域都是【a,b】,求a,b的关系若函数y=1/2x²-x+3/2的定义域和值域都是[a,b]求a与b的关系设函数f=|3^x-1|的定义域是[a,b],值域是[2a,2b],a>则a+b= 若函数f(x)=1/2(x-1)^2+a的定义域和值域都是大于等于1 小于等于b,试求a,b的值