已知定义在（0，+∞）的函数f（x），对任意的x、y∈（0，+∞），都有f（xy）=f（x）+f（y），且当0＜x＜1时

来源：学生作业帮编辑：百度作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/08/11 07:05:01

已知定义在（0，+∞）的函数f（x），对任意的x、y∈（0，+∞），都有f（xy）=f（x）+f（y），且当0＜x＜1时，f（x）＞0．
（1）证明：当x＞1时，f（x）＜0；
（2）判断函数f（x）的单调性并加以证明；
（3）如果对任意的x、y∈（0，+∞），f（x²+y²）≤f（a）+f（xy）恒成立，求实数a的取值范围．

（1）∵f（xy）=f（x）+f（y），
令x=y=1，
则f（1）=f（1）+f（1），
所以f（1）=0，
再令y=
1
x，
则f（1）=f（x）+f（
1
x）=0，
当x＞1时，0＜
1
x＜1．
∵f（
1
x）＞0．
∴f（x）=-f（
1
x）＜0
（2）任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，则f（x₂）-f（x₁）=f（
x2
x1）
∵x₁＜x₂，所以
x2
x1＞1，则f（
x2
x1）＜0，f（x₂）＜f（x₁），
∴f（x）在（0，+∞）上是减函数，
（3）f（x²+y²）≤f（a）+f（xy）恒成立，
∴f（x²+y²）≤f（axy）恒成立，
∵f（x）在（0，+∞）上是减函数，
∴x²+y²≥axy，
∴0＜a≤
x2+y2
xy=
y
x+
x
y≥2，当且仅当x=y取等号，
∴实数a的取值范围（0，2]

已知f（x）是定义在（0,+∞）上的函数,对于任意的正数x,y都有f（xy）=f（x）+f（y）成立,且当x＞1时f（x 已知定义在（0,+∞）的函数f（x）,对任意的实数x,y>0,都有f（xy）=f（x）+f（y）成立,且当x>1是. 已知定义在（0,+无穷）上的函数f(x),对任意的实数x,y>0,都有f(xy)=f(x)+f(y)成立,且当x>1时, 已知定义在（0,+∞）的函数f（x）,对任意的实数x,y>0,都有f（xy）=f（x）+f（y）成立,且当0 设函数y=f(x)是定义在R上的函数.对任意正数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y);当x大于1时,f（x）小于0；已知函数f（x）对任意实数x,y都有f（xy）=f（x）*f（y）,且f(-1)=1,f(27)=0,当0≤x＜1时,f 已知函数f（x）是定义在（0,∞）上的单调递增函数,且对定义域内任意的x、y都有f（xy）=f（x）+f（y）已知定义在（0,+∞）上的函数f(x)对任意x,y∈ (0,+∞),恒有f(xy)=f(x)+f(y),且当0 函数y=f(x)的定义域为（0,+∞）,且对定义域内的任意x、y都有f(xy)=f(x)+f(y),且f(2)=1,则f 已知定义在（0,+∞）上的函数f(x)满足：1.对任意的x,y∈（0,+∞）,都有f(xy)=f(x)+f(y);2.当设f(x)是定义在（0,+∞）的单调递增函数,且对定义域内任意x,y,都有f(xy)=f(x)f(y),f(2)=1,求设f（x)是定义在（0,+∞）上的单调递增函数,且对定义域内任意x,y,都有f(xy)=f(x)+f(y),f(2)=1