百度作业网若椭圆上存在一点P，它到椭圆中心和长轴一个端点的连线互相垂直，求椭圆离心率e的取值范围．
来源：学生作业帮 编辑：百度作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/03 13:42:53
若椭圆上存在一点P，它到椭圆中心和长轴一个端点的连线互相垂直，求椭圆离心率e的取值范围．
设椭圆
x2
a2+
y2
b2=1，（a＞b＞0），P（acosθ，bsinθ），
∵θ≠90，∴不妨设0°＜θ＜90°，长轴端点A（a，0），
∵点P到椭圆中心和长轴一个端点的连线互相垂直，
∴OP⊥PA，
∴（acosθ，bsinθ）•（acosθ-a，bsinθ）=0，
∴a2（cos2θ-cosθ）+b2sin2θ=0，
整理得
b2
a2=1-e2
=
cosθ-cos2θ
sin2θ
=
cosθ(1-cosθ)
1-cos2θ
=
cosθ
1+cosθ，
∵0°＜θ＜90°，∴0＜cosθ＜1，
∴e2=1-
cosθ
1+cosθ=
1
1+cosθ∈（
1
2，1），
∴e∈（
2
2，1）．
∴椭圆离心率e的取值范围是（
2
2，1）．
x2
a2+
y2
b2=1，（a＞b＞0），P（acosθ，bsinθ），
∵θ≠90，∴不妨设0°＜θ＜90°，长轴端点A（a，0），
∵点P到椭圆中心和长轴一个端点的连线互相垂直，
∴OP⊥PA，
∴（acosθ，bsinθ）•（acosθ-a，bsinθ）=0，
∴a2（cos2θ-cosθ）+b2sin2θ=0，
整理得
b2
a2=1-e2
=
cosθ-cos2θ
sin2θ
=
cosθ(1-cosθ)
1-cos2θ
=
cosθ
1+cosθ，
∵0°＜θ＜90°，∴0＜cosθ＜1，
∴e2=1-
cosθ
1+cosθ=
1
1+cosθ∈（
1
2，1），
∴e∈（
2
2，1）．
∴椭圆离心率e的取值范围是（
2
2，1）．
已知A是椭圆长轴的一个端点,O是中心,若椭圆上存在一点P有OP垂直于AP,求椭圆离心率的取值范围.
若在椭圆上存在一点P,求椭圆离心率的取值范围
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已知椭圆中心在原点,它在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直,且此焦点和长轴上较近端点的距离是√10-√5,求椭
若椭圆上任一点到其上顶点的的最大距离恰好等于该椭圆的中心到其准线的距离,求该椭圆离心率的取值范围?
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已知F1,F2是椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,若角F1PF2=90度,求椭圆离心率的取值范围
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已知椭圆中心在原点,它在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直,且此焦点和长轴上较近端点的距离是√10-√5.
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