百度作业网函数与不等式综合题 有一定难度
来源：学生作业帮 编辑：百度作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/08/10 13:05:07
函数与不等式综合题 有一定难度
18.已知定义在(-∞,3]上的单调减函数f(x),使得f(a^2-sinx)≤f(a+1+cos^2 x)对一切实数x均成立,求实数a的取值范围.
18.已知定义在(-∞,3]上的单调减函数f(x),使得f(a^2-sinx)≤f(a+1+cos^2 x)对一切实数x均成立,求实数a的取值范围.
因为是减函数,所以a^2-sinx≥a+1+cos^2 x,即a^2-a-1≥cos^2 x+sinx;
因为cos^2 x+sinx=1-sin^2 x+sinx,所以,原式变为a^2-a-1≥—（sin^2 x-sinx-1）
令sinx=t,因为x定义在(-∞,3],所以-1≤t≤1,所以原式又可变为a^2-a-1≥—（t^2-t-1）
对函数F（t）=—（t^2-t-1）在-1≤t≤1时可作图的-1≤F(t)≤5/4,
所以要使不等式恒成立,必须a^2-a-1≥5/4即：a^2-a-9/4≥0,即可得a的取值范围.PS：解一元二次不等式a^2-a-9/4≥0就由LZ你自己来解决吧!
因为cos^2 x+sinx=1-sin^2 x+sinx,所以,原式变为a^2-a-1≥—（sin^2 x-sinx-1）
令sinx=t,因为x定义在(-∞,3],所以-1≤t≤1,所以原式又可变为a^2-a-1≥—（t^2-t-1）
对函数F（t）=—（t^2-t-1）在-1≤t≤1时可作图的-1≤F(t)≤5/4,
所以要使不等式恒成立,必须a^2-a-1≥5/4即：a^2-a-9/4≥0,即可得a的取值范围.PS：解一元二次不等式a^2-a-9/4≥0就由LZ你自己来解决吧!