定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且f(-x)= - f(x) ,当x∈(0,1)时,f(x)=2的x
来源:学生作业帮 编辑:百度作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/09 09:06:29
定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且f(-x)= - f(x) ,当x∈(0,1)时,f(x)=2的x次幂/(4的x次幂+1).
(1).求f(x)在[-1,1]上的解析式;
(2).证明f(x)在(0,1)上是减函数;
(3).当λ取何值时,方程f(x)=λ在[-1,1]上有解.
此题为佛山市高一月考题、我吉林的、感觉好难、跪求!
(1).求f(x)在[-1,1]上的解析式;
(2).证明f(x)在(0,1)上是减函数;
(3).当λ取何值时,方程f(x)=λ在[-1,1]上有解.
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(1)x∈(0,1)时,-x∈(-1,0),
又f(-x)= - f(x)=-2的x次幂/(4的x次幂+1),令-x=t,得x=-t代入
f(-x)=-2的x次幂/(4的x次幂+1)整理得
f(t)=-2的t次幂/(4的t次幂+1),所以,当x∈(-1,0)时,
f(x)=-2的x次幂/(4的x次幂+1).
又定义在R上的奇函数有f(0)=0,故x=0时,f(x)=0
由f(x+2)=f(x),取x=-1代入得f(1)=f(-1),由于已知函数为奇函数,应该有f(-1)=-f(1),故得f(1)=f(-1)=0
综上得f(x)在[-1,1]上的表达式为分段函数即:
x∈(0,1)时,f(x)=2的x次幂/(4的x次幂+1).
x∈(-1,0)时,f(x)=-2的x次幂/(4的x次幂+1).
x∈{-1,0,1}时,f(x)=0
(2)证明:设0<x1<x2<1,
f(x1)-f(x2)=[2的x1次幂/(4的x1次幂+1)]-[2的x2次幂/(4的x2次幂+1)]
将等式右边通分整理得
f(x1)-f(x2)=[(2的x2次幂-2的x1次幂)×(2的(x1+x2)次幂-1)]/[(4的x1次幂+1)×(4的x2次幂+1)]
由x1<x2及指数函数性质可得上式f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2)
故f(x)在(0,1)上是减函数;
(3)当λ=0时,f(x)=0在[-1,1]上有三个解,即x=-1,0,1
当λ>0时,f(x)=λ,由(1)中的函数表达式得:
2的x次幂/(4的x次幂+1)=λ,整理得:λ×4的x次幂-2的x次幂+λ=0
即:λ×2的2x次幂-2的x次幂+λ=0此为以2的x次幂为未知数的一元二次方程,
由判别式△≥0且两根均为正数得:
△=1-4×λ的平方≥0,解此不等式得:-1/2≤λ≤1/2,又λ>0,
故0<λ≤1/2
当λ<0时,f(x)=λ,由(1)中的函数表达式得:
-2的x次幂/(4的x次幂+1)=λ,整理得:λ×4的x次幂+2的x次幂+λ=0
即:λ×2的2x次幂+2的x次幂+λ=0此为以2的x次幂为未知数的一元二次方程,
由判别式△≥0且两根均为正数得:
△=1-4×λ的平方≥0,解此不等式得:-1/2≤λ≤1/2,又λ<0,
故-1/2≤λ<0
综上可知,当-1/2≤λ≤1/2时,方程f(x)=λ在[-1,1]上有解.
又f(-x)= - f(x)=-2的x次幂/(4的x次幂+1),令-x=t,得x=-t代入
f(-x)=-2的x次幂/(4的x次幂+1)整理得
f(t)=-2的t次幂/(4的t次幂+1),所以,当x∈(-1,0)时,
f(x)=-2的x次幂/(4的x次幂+1).
又定义在R上的奇函数有f(0)=0,故x=0时,f(x)=0
由f(x+2)=f(x),取x=-1代入得f(1)=f(-1),由于已知函数为奇函数,应该有f(-1)=-f(1),故得f(1)=f(-1)=0
综上得f(x)在[-1,1]上的表达式为分段函数即:
x∈(0,1)时,f(x)=2的x次幂/(4的x次幂+1).
x∈(-1,0)时,f(x)=-2的x次幂/(4的x次幂+1).
x∈{-1,0,1}时,f(x)=0
(2)证明:设0<x1<x2<1,
f(x1)-f(x2)=[2的x1次幂/(4的x1次幂+1)]-[2的x2次幂/(4的x2次幂+1)]
将等式右边通分整理得
f(x1)-f(x2)=[(2的x2次幂-2的x1次幂)×(2的(x1+x2)次幂-1)]/[(4的x1次幂+1)×(4的x2次幂+1)]
由x1<x2及指数函数性质可得上式f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2)
故f(x)在(0,1)上是减函数;
(3)当λ=0时,f(x)=0在[-1,1]上有三个解,即x=-1,0,1
当λ>0时,f(x)=λ,由(1)中的函数表达式得:
2的x次幂/(4的x次幂+1)=λ,整理得:λ×4的x次幂-2的x次幂+λ=0
即:λ×2的2x次幂-2的x次幂+λ=0此为以2的x次幂为未知数的一元二次方程,
由判别式△≥0且两根均为正数得:
△=1-4×λ的平方≥0,解此不等式得:-1/2≤λ≤1/2,又λ>0,
故0<λ≤1/2
当λ<0时,f(x)=λ,由(1)中的函数表达式得:
-2的x次幂/(4的x次幂+1)=λ,整理得:λ×4的x次幂+2的x次幂+λ=0
即:λ×2的2x次幂+2的x次幂+λ=0此为以2的x次幂为未知数的一元二次方程,
由判别式△≥0且两根均为正数得:
△=1-4×λ的平方≥0,解此不等式得:-1/2≤λ≤1/2,又λ<0,
故-1/2≤λ<0
综上可知,当-1/2≤λ≤1/2时,方程f(x)=λ在[-1,1]上有解.
定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=-f(x),f(x-2)=f(x+2)且x∈(-1,0)时,f(x)=2x+15
若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且当x∈[0,1]时,f(x)=x,则函数y=f(x)=log3
若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且当x∈[0,1]时,f(x)=x,则函数y=f(x)-log3
已知定义在R上的函数y=f(x)满足f(2+x)=f(2-x),且f(x)是偶函数,当x∈[0,2]时,f(x)=2x-
已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=12x,则使f(x)=−
已知定义在R上的函数f(x)满足:f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时f(x)<0; (1)求f(0) (2)
已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+5)=-f(x)+2,且当x∈(0,5)时,f(x)=x,则f(2011)的值为
定义在R上的函数F(x)满足F(0)=0,F(x)+F(1-x)=1,F(x/5)=1/2F(x),且当0≤X1<X2≤
定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且当x∈(0,1)时,f(x)=2^x-1,则f(log1/2 2
定义在R上的函数f(x)满足:对于任意的x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y)-2011且当x>0时,有f(x
设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x恒满足f(2+x)=-f(x),当x∈[0,2]时,f(x)=2x-x
已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+5)=f(x),且当x∈(0,5)时,f(x)=x,则f=(2009)的值为多少