如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的高，E是BC边上的一个动点

来源：学生作业帮编辑：百度作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/08/19 17:26:47

如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的高，E是BC边上的一个动点
（不与B，C重合），EF⊥AB，EG⊥AC，垂足分别为F，G．

（1）求证：

＝

如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的高，E是BC边上的一个动点

（1）在△ADC和△EGC中，
∵AD是BC边上的高，EG⊥AC，
∴∠ADC=∠EGC，∠C=∠C，
∴△ADC∽△EGC．
∴
EG
AD＝
CG
CD．（3分）
（2）FD与DG垂直．（4分）
证明如下：
在四边形AFEG中，
∵∠FAG=∠AFE=∠AGE=90°，
∴四边形AFEG为矩形．
∴AF=EG．
∵
EG
AD＝
CG
CD，
∴
AF
AD＝
CG
CD．（6分）
∵AD是BC边上的高，
∴AD⊥BC．
∴∠FAD=∠C．
∴△AFD∽△CGD．
∴∠ADF=∠CDG．（8分）
∵∠CDG+∠ADG=90°，
∴∠ADF+∠ADG=90°．
即∠FDG=90°．
∴FD⊥DG．（10分）
（3）当AB=AC时，△FDG为等腰直角三角形，理由如下：
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠C=45°，
∵AD⊥BC，
∴∠DAC=∠C，
∴AD=DC．
∵△AFD∽△CGD，
∴
FD
GD＝
AD
DC＝1．
∴FD=DG．
∵∠FDG=90°，
∴△FDG为等腰直角三角形．（12分）

（1）由比例线段可知，我们需要证明△ADC∽△EGC，由两个角对应相等即可证得；
（2）由矩形的判定定理可知，四边形AFEG为矩形，根据矩形的性质及相似三角形的判定可得到△AFD∽△CGD，从而不难得到结论；
（3）是，利用相似三角形的性质即可求得．