如图,抛物线y=x2-2x-3与x轴交A、B两点(A点在B点左侧),直线l与抛物线交于A、C两点,其中C点的横坐标为2.
来源:学生作业帮 编辑:百度作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/31 05:26:13
如图,抛物线y=x2-2x-3与x轴交A、B两点(A点在B点左侧),直线l与抛物线交于A、C两点,其中C点的横坐标为2.
![](http://img.wesiedu.com/upload/9/b3/9b3c133334ccceef05dffaaee05c609b.jpg)
(1)求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式;
(2)P是线段AC上的一个动点,过P点作y轴的平行线交抛物线于E点,求线段PE长度的最大值;
(3)点G抛物线上的动点,在x轴上是否存在点F,使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出所有满足条件的F点坐标;如果不存在,请说明理由.
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(1)求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式;
(2)P是线段AC上的一个动点,过P点作y轴的平行线交抛物线于E点,求线段PE长度的最大值;
(3)点G抛物线上的动点,在x轴上是否存在点F,使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出所有满足条件的F点坐标;如果不存在,请说明理由.
![如图,抛物线y=x2-2x-3与x轴交A、B两点(A点在B点左侧),直线l与抛物线交于A、C两点,其中C点的横坐标为2.](/uploads/image/z/17757287-71-7.jpg?t=%E5%A6%82%E5%9B%BE%EF%BC%8C%E6%8A%9B%E7%89%A9%E7%BA%BFy%3Dx2-2x-3%E4%B8%8Ex%E8%BD%B4%E4%BA%A4A%E3%80%81B%E4%B8%A4%E7%82%B9%EF%BC%88A%E7%82%B9%E5%9C%A8B%E7%82%B9%E5%B7%A6%E4%BE%A7%EF%BC%89%EF%BC%8C%E7%9B%B4%E7%BA%BFl%E4%B8%8E%E6%8A%9B%E7%89%A9%E7%BA%BF%E4%BA%A4%E4%BA%8EA%E3%80%81C%E4%B8%A4%E7%82%B9%EF%BC%8C%E5%85%B6%E4%B8%ADC%E7%82%B9%E7%9A%84%E6%A8%AA%E5%9D%90%E6%A0%87%E4%B8%BA2%EF%BC%8E)
(1)令y=0,解得x1=-1或x2=3
∴A(-1,0)B(3,0)
将C点的横坐标x=2代入y=x2-2x-3得y=-3
∴C(2,-3)
∴直线AC的函数解析式是y=-x-1;
(2)设P点的横坐标为x(-1≤x≤2)
则P、E的坐标分别为:P(x,-x-1)
E(x,x2-2x-3)
∵P点在E点的上方,PE=(-x-1)-(x2-2x-3)=-x2+x+2=-(x-
1
2)2+
9
4,
∴当x=
1
2时,PE的最大值=
9
4;
(3)存在4个这样的点F,分别是F1(1,0),F2(-3,0),F3(4+
7,0),F4(4-
7,0).
![](http://img.wesiedu.com/upload/0/e1/0e197c5d78df5ea179a554c69be6aff7.jpg)
①如图,连接C与抛物线和y轴的交点,那么CG∥x轴,此时AF=CG=2,因此F点的坐标是(-3,0);
![](http://img.wesiedu.com/upload/f/4c/f4c9a81f2cc35aae76ef616473ce9438.jpg)
②如图,AF=CG=2,A点的坐标为(-1,0),因此F点的坐标为(1,0);
![](http://img.wesiedu.com/upload/9/0d/90d426587126861a82fbb1915867eb20.jpg)
③如图,此时C,G两点的纵坐标关于x轴对称,因此G点的纵坐标为3,代入抛物线中即可得出G点的坐标为(1+
7,3),由于直线GF的斜率与直线AC的相同,因此可设直线GF的解析式为y=-x+h,将G点代入后可得出直线的解析式为y=-x+4+
7.因此直线GF与x轴的交点F的坐标为(4+
7,0);
![](http://img.wesiedu.com/upload/e/76/e76ecbcb9253a286190e2ed9bd043e7e.jpg)
④如图,同③可求出F的坐标为(4-
7,0).
综合四种情况可得出,存在4个符合条件的F点.
∴A(-1,0)B(3,0)
将C点的横坐标x=2代入y=x2-2x-3得y=-3
∴C(2,-3)
∴直线AC的函数解析式是y=-x-1;
(2)设P点的横坐标为x(-1≤x≤2)
则P、E的坐标分别为:P(x,-x-1)
E(x,x2-2x-3)
∵P点在E点的上方,PE=(-x-1)-(x2-2x-3)=-x2+x+2=-(x-
1
2)2+
9
4,
∴当x=
1
2时,PE的最大值=
9
4;
(3)存在4个这样的点F,分别是F1(1,0),F2(-3,0),F3(4+
7,0),F4(4-
7,0).
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①如图,连接C与抛物线和y轴的交点,那么CG∥x轴,此时AF=CG=2,因此F点的坐标是(-3,0);
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②如图,AF=CG=2,A点的坐标为(-1,0),因此F点的坐标为(1,0);
![](http://img.wesiedu.com/upload/9/0d/90d426587126861a82fbb1915867eb20.jpg)
③如图,此时C,G两点的纵坐标关于x轴对称,因此G点的纵坐标为3,代入抛物线中即可得出G点的坐标为(1+
7,3),由于直线GF的斜率与直线AC的相同,因此可设直线GF的解析式为y=-x+h,将G点代入后可得出直线的解析式为y=-x+4+
7.因此直线GF与x轴的交点F的坐标为(4+
7,0);
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④如图,同③可求出F的坐标为(4-
7,0).
综合四种情况可得出,存在4个符合条件的F点.
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