数学难题：若a是非零自然数,n是质数且与a互质,则a^(n-1)-1定能被n整除,试证之.

来源：学生作业帮编辑：百度作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/07/31 10:38:49

数学难题：若a是非零自然数,n是质数且与a互质,则a^(n-1)-1定能被n整除,试证之.
在算术辞典(解题中心)第1749题：与完全数a互质之质数p得整除a^(P-1)-1。其证法简单明了，我的印象其证法没有一楼那样复杂，只可惜这本算术辞典的前面一百六十多页缺失了！

费马小定理是数论中的一个重要定理,其内容为：假如p是质数,且(a,p)=1,那么 a^(p-1) ≡1（mod p）假如p是质数,且a,p互质,那么 a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1
证明
　　一、准备知识：　　引理1．剩余系定理2 　　若a,b,c为任意3个整数,m为正整数,且（m,c)=1,则当ac≡bc(mod m）时,有a≡b(mod m) 　　证明：ac≡bc(mod m）可得ac–bc≡0(mod m）可得（a-b)c≡0(mod m）因为（m,c)=1即m,c互质,c可以约去,a–b≡0(mod m）可得a≡b(mod m) 　　引理2．剩余系定理5 　　若m为整数且m>1,a[1],a[2],a[3],a[4],…a[m]为m个整数,若在这m个数中任取2个整数对m不同余,则这m个整数对m构成完全剩余系.　　证明：构造m的完全剩余系（0,1,2,…m-1）,所有的整数必然这些整数中的1个对模m同余.取r[1]=0,r[2]=1,r[3]=2,r[4]=3,…r=i-1,1

若a与b都不被质数n+1整除,问a^n-b^n能被n+1整除吗? 矩阵A是m x n阶, B是n x s阶且是非零矩阵,若AB=0,则r(A)+r(B)与n是什么关系? A,B均是非零矩在幂指数y=x^a 如果a是正偶数(a=2n,n是非零自然数) 在数列{an}中,a(n+1)=c*an,(c是非零常数),且前n项和Sn=(3^n)+k.则k等于? 如果实数m,n都不为零,且m不等于n,向量a是非零向量,那么m*向量a与n*向量a是否平行?为什么? 高一数学不等式求证：若a是正实数,n∈N*,且n≥2,则a^n≥na-(n-1)求证明过程, 若n是非零的自然数,则（2n＋1）²-1是否能被8整除?说明理由. 若 n表示自然数,则2n+1表示的是什么?a,偶数b,奇数c,质数d,合数 3^(2n-1)+a,（n是自然数）能被4整除,求满足条件的最小正整数a 若n为自然数且n +1|1×2×3×…×n+ 1.求证：n +1是个质数已知n＞1,a＞1且a的n次方—1是质数,求a的值,并说明n也是质数对于任意自然数n,m能整除1999的n次方减去999n再减1,则m的最大值是 ( )A.