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在数列{an}中,a1=1,a(n+1)=2an+2^n.

来源:学生作业帮 编辑:百度作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/05 07:48:53
在数列{an}中,a1=1,a(n+1)=2an+2^n.
1、设bn=an/[2^(n-1)],证明数列{bn}是等差数列;
2、求数列{an}的前n项和Sn.
在数列{an}中,a1=1,a(n+1)=2an+2^n.
(1)证明:因为a(n+1)=2an+2^n
所以a(n+1)/2^n=2an/2^n+1
即a(n+1)/2^n=an/2^(n-1)+1
因为bn=an/2^(n-1)
所以b(n+1)=bn+1
即b(n+1)-bn=1,b1=1
故数列{bn}是首项为1,公差为1的等差数列
(2)由(1)得bn=1+(n-1)*1=n
又因bn=an/2^(n-1)
所以an=n*2^(n-1),则
Sn=1*2^0+2*2^1+3*2^2+4*2^3+……+(n-1)*2^(n-2)+n*2^(n-1)……(1)
2Sn=1*2^1+2*2^2+3*2^3+4*2^4+……+(n-1)*2^(n-1)+n*2^n……(2)
(2)-(1)得
Sn=n*2^n-[2^0+2^1+2^2+2^3+……+2^(n-2)+2^(n-1)]
=n*2^n-[(1-2^n)/(1-2)]
=n*2^n-2^n+1
=1+(n-1)2^n