在数列{an}中,a1=1,a(n+1)=2an+2^n.
来源:学生作业帮 编辑:百度作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/05 07:48:53
在数列{an}中,a1=1,a(n+1)=2an+2^n.
1、设bn=an/[2^(n-1)],证明数列{bn}是等差数列;
2、求数列{an}的前n项和Sn.
1、设bn=an/[2^(n-1)],证明数列{bn}是等差数列;
2、求数列{an}的前n项和Sn.
(1)证明:因为a(n+1)=2an+2^n
所以a(n+1)/2^n=2an/2^n+1
即a(n+1)/2^n=an/2^(n-1)+1
因为bn=an/2^(n-1)
所以b(n+1)=bn+1
即b(n+1)-bn=1,b1=1
故数列{bn}是首项为1,公差为1的等差数列
(2)由(1)得bn=1+(n-1)*1=n
又因bn=an/2^(n-1)
所以an=n*2^(n-1),则
Sn=1*2^0+2*2^1+3*2^2+4*2^3+……+(n-1)*2^(n-2)+n*2^(n-1)……(1)
2Sn=1*2^1+2*2^2+3*2^3+4*2^4+……+(n-1)*2^(n-1)+n*2^n……(2)
(2)-(1)得
Sn=n*2^n-[2^0+2^1+2^2+2^3+……+2^(n-2)+2^(n-1)]
=n*2^n-[(1-2^n)/(1-2)]
=n*2^n-2^n+1
=1+(n-1)2^n
所以a(n+1)/2^n=2an/2^n+1
即a(n+1)/2^n=an/2^(n-1)+1
因为bn=an/2^(n-1)
所以b(n+1)=bn+1
即b(n+1)-bn=1,b1=1
故数列{bn}是首项为1,公差为1的等差数列
(2)由(1)得bn=1+(n-1)*1=n
又因bn=an/2^(n-1)
所以an=n*2^(n-1),则
Sn=1*2^0+2*2^1+3*2^2+4*2^3+……+(n-1)*2^(n-2)+n*2^(n-1)……(1)
2Sn=1*2^1+2*2^2+3*2^3+4*2^4+……+(n-1)*2^(n-1)+n*2^n……(2)
(2)-(1)得
Sn=n*2^n-[2^0+2^1+2^2+2^3+……+2^(n-2)+2^(n-1)]
=n*2^n-[(1-2^n)/(1-2)]
=n*2^n-2^n+1
=1+(n-1)2^n
在数列{an}中,a1=2,a(n+1)=an+ln(1+1/n)
设数列{an}中,a1=2,a(n+1)=an+n+1,求an
在数列{an}中,已知(a1+a2+…+an)/n=(2n-1)an
在数列an中,a1=2 an+1=an+3n则an=
在数列{an}中,a1=1,2a(n+1)=(1+1/n)^2*an,证明数列{an/n^2}是等比数列,并求{an}的
在数列{an}中,a1=2,an+1=4an-3n+1,n属于正整数 (1)证明{an-n}是等比数列 (2)求数列{a
在数列an中,a1=1,且满足a(n+1)=3an +2n,求an
已知在数列An中,A1=2 A(n+1)=An+n 求An的通项公式
若在数列{An}中,a1=3,A(n+1)=An+2n,求An通项公式?
已知在数列{an}中,a1=2,a(n+1)-3a(n)=3n,求an
在数列{an}中,a1=2,a(n+1)=4an-3n+1(n为正整数),证明数列{an-n}是等比数列
在数列{an}中,已知a1=2,a(n+1)=2an/(an+1),证明数列{1/an-1}为等比数列,并求出数列{an