已知点H（0，-3），点P在x轴上，点Q在y轴正半轴上，点M在直线PQ上，且满足HP•PM＝0，PM＝−32MQ．

来源：学生作业帮编辑：百度作业网作业帮分类：综合作业时间：2024/07/31 22:14:21

已知点H（0，-3），点P在x轴上，点Q在y轴正半轴上，点M在直线PQ上，且满足

•

＝0，

＝−

已知点H（0，-3），点P在x轴上，点Q在y轴正半轴上，点M在直线PQ上，且满足HP•PM＝0，PM＝−32MQ．

（I）设P（a，0），Q（0，b）（b＞0），
∵点M在直线PQ上，

HP•

PM＝0，
∴

HP•

PQ＝(a，3)•(−a，b)＝−a2+3b＝0，
∴a²=3b，

设M(x，y)，由

PM＝−
3
2

MQ得，
(x−a，y)−＝
3
2(−x，−y+b)
∴

x−a＝
3
2x
y＝
3
2(y−b)∴

a＝
1
2x
b＝
1
3y(b＞0)
∴y＝
1
4x2(x≠0)
点M的轨迹方程为y＝
1
4x2(x≠0)．
（II）解法一：设S(x1，
1
4
x21)，R(x2，
1
4
x22)(x1≠x2)，
则直线SR的方程为：y−
1
4
x21＝

1
4
x22−
1
4
x21
x2−x1(x−x1)
即y＝
1
4(x1+x2)x−
x1x2
4．
∵A点在SR上，
∴y0＝
1
4(x1+x2)x0−
x1x2
4①
对y＝
1
4x2求导得：y′＝
1
2x．
∴抛物线上S、R处的切线方程为：y−
1
4
x21＝
1
2x1(x−x1)即y＝
x1x
2−

x21
4②
y−
1
4
x22＝
1
2x2(x−x2)即y＝
x2x
2−

x22
4③
联立②③，并解之得

x＝
x1+x2
2
y＝
1
4x1x2代入①得
y0＝
x0x
2−y，即x0x−2y−2y0＝0，
故切线的交点在定直线x₀x-2y=2y₀=0上．
解法二：当过点A的直线斜率不存在时与题意不符．设直线SR的方程为y-y₀=k（x-x₀）
代入抛物线方程得x²-4kx+4x₀k-4y₀=0．
设S1(x1，
1
4
x21)，R(x2，
1
4
x22)(x1≠x2)
由韦达定理

x1+x2＝4k
x1x2＝4(x0k−y0)（*）
又过S，R点的切线方程分别是：y＝
x1
2x−

x21
4，y＝
x2
2x−

x22
4
∴两切线的交点为

x＝
x1+x2
2
y＝
1
4x1x2，
代入（*）得

x＝2k
y＝x0k−y0(k为参数)，
消去k，得x₀x-2y-2y₀=0
故切线的交点在定直线x₀x-2y-2y₀=0上．