（2014•苏州模拟）如图，△ABC内接于半圆，圆心为O，AB是直径，过A作直线MN，若∠MAC=∠ABC．

来源：学生作业帮编辑：百度作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/07/31 22:10:50

（2014•苏州模拟）如图，△ABC内接于半圆，圆心为O，AB是直径，过A作直线MN，若∠MAC=∠ABC．
（1）求证：MN是半圆的切线；
（2）设D是弧AC的中点，连接BD交AC于G，过D作DE⊥AB于E，交AC于F．求证：DE=

如右图所示，
（1）∵AB是直径，
∴∠C=90°，

∴∠CBA+∠BAC=90°，
又∵∠MAC=∠ABC，
∴∠MAC+∠CAB=90°，
即∠BAM=90°，
∴OA⊥MN，
∴MN是⊙O的切线；

（2）连接OD交AC于H，
∵D是AC中点，
∴OD⊥AC，AH=
1
2AC，
∵∠DOE=∠AOH，∠OHA=∠OED=90°，OA=OD，
∴△OAH≌△ODE，
∴DE=AH=
1
2AC；

（3）连接AD，
由（2）知△OAH≌△ODE，
∴∠ODE=∠OAH，
又∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD，
∴∠ODA-∠ODE=∠OAD-∠OAH，
即∠FDA=∠FAD，
∴FD=FA，
∵AB是直径，
∴∠BDA=90°，
∴∠FDA+∠GDF=90°，∠DAF+∠DGF=90°，
∴∠GDF=∠DGF，
∴FG=DF，
∴FG=FA=FD，
∴S_△DGF=
1
2S_△ADG，
易证△BCG∽△ADG，
∴S_△BCG：S_△ADG=（
CG
DG）²=（
b
a）²，
∴S_△BCG=
2b2S
a2．

如图,△ABC内接于半圆,AB为直径,过点A作直线MN,若∠MAC=∠ABC．如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，过点A作直线MN，若∠MAC=∠ABC．如图,△ABC内接于半圆,AB是直径,过A做直线MN,若∠MAC=∠ABC 如图,△ABC内接于半圆O,AB为直径,过点A作直线MN,若∠MAC＝∠ABC,AE＝4,DE＝8,求EF 三角形ABC内接于半圆,AB是直径,过A作直线MN （2012•金平区模拟）如图，半圆O的直径AB=10，弦AC=8，过A作直线PQ，若∠PAC=∠ABC．（2014•徐州模拟）已知：如图，△ABC中，点O是AC上的一动点，过点O作直线MN∥AB，设MN交∠BCA的平分线于点（2013•高淳县一模）如图，在△ABC中，AB=AC，cosA=45．以AB为直径作半圆，圆心为O，半圆分别交BC、A （2013•樊城区模拟）如图，已知△ABC内接于⊙O，弦AD交BC于E，过点D的切线MN交直线AB于M，交直线AC于N．三角形ABC内接于圆O过点A作直线EF AB为直径则我们有角CAE=∠B反过来AB为直径∠CAE=∠B那么EF是圆O的切（2014•吴江市模拟）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O交底边BC于D．已知：△ABC内接于圆O,过点A作直线EF.若直线AB是非直径的弦,∠CAE=∠B,求证:EF是圆O的切线.