设a为常数，a∈R，函数f（x）=x2+|x-a|+1，x∈R．

来源：学生作业帮编辑：百度作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/07/17 14:42:13

设a为常数，a∈R，函数f（x）=x²+|x-a|+1，x∈R．
（1）若函数f（x）是偶函数，求实数a的值；
（2）求函数f（x）的最小值．

（1）∵函数f（x）为偶函数，∴对任意的x∈R都有f（-x）=f（x），
即（-x）²+|-x-a|+1=x²+|x-a|+1，对任意的x∈R都有|x+a|=|x-a|，
也就是（x+a）²=（x-a）²对任意的x∈R成立，故4ax=0恒成立，可得a=0．
（2）①当x≤a时，f(x)＝x2−x+(1+a)＝(x−
1
2)2+(
3
4+a)．
若a≤
1
2，则函数f（x）在（-∞，a]上单调递减．
所以函数f（x）在（-∞，a]上的最小值为f（a）=a²+1．
若a＞
1
2，则函数f（x）在(−∞，
1
2]上单调递减，在(
1
2，a]上单调递增．
所以函数f（x）在（-∞，a]上的最小值为f(
1
2)＝
3
4+a．
②当x＞a时，f(x)＝x2+x+(1−a)＝(x+
1
2)2+(
3
4−a)．
若a≤−
1
2，则函数f（x）在[a，−
1
2]上单调递减，在(−
1
2，+∞)单调递增．
所以函数f（x）在[a，+∞）上的最小值为f(−
1
2)＝
3
4−a．
若a＞−
1
2，则函数f（x）在[a，+∞）单调递增．
所以函数f（x）在[a，+∞）上的最小值为f（a）=a²+1．
综上所述，可得
当a≤−
1
2时，函数f（x）的最小值是
3
4−a；当−
1
2＜a≤
1
2时，函数f（x）的最小值是a²+1；
当a＞
1
2时，函数f（x）的最小值是
3
4+a．

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