在1、2、3……、100中,有的数不能写成两个或两个以上连续自然数之和,如4,那么这样的数有多少个?

来源：学生作业帮编辑：百度作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/08/01 02:32:07

【定理】除了 2^k（k≥1,k是整数）以外,其余所有数都可以写成以a开头的连续n（n≥2）个自然数之和：a+(a+1)+(a+2)+...+(a+n-1)

所以在1、2、3……、100中,不能写成两个或两个以上连续自然数之和的只有：
2、4、8、16、32、64
共6个.

【定理的证明】

（1）若M是奇数,则M可以写成两个连续自然数之和：(M-1)/2,(M+1)/2；

（2）若M是偶数,则若M可以写成以a开头的连续n（n≥2）个自然数之和,
M=a+(a+1)+(a+2)+...+(a+n-1)=(2*a+n-1)*n/2,
而2*a+n-1与n肯定一个为奇数一个为偶数,
即M一定要有一个大于1的奇因数,而所有2^k 都没有大于1的奇因数,因此肯定不符合条件.

再证明只要 M 有一个大于1的奇因数,即M≠2^k,M就可以写成连续n个自然数之和.
假设M有一个奇质因数a,则M=a*b （b是偶数）
①若b-(a-1)/2>0,M就可以写成以b-(a-1)/2开头的连续a个自然数.
比如：24=3*8=7+8+9.
②若(a+1)/2-b>0,M就可以写成以(a+1)/2-b开头的连续2*b个自然数.
比如：38=19*2=8+9+10+11.
上述两个不等式【b-(a-1)/2>0与(a+1)/2-b>0】必有一个成立,
所以可以证明,只要M有一个大于1的奇因数,就一定可以写成连续n个自然数之和.

所以：除了2^k 以外,其余所有数都可以写成a+(a+1)+(a+2)+...+(a+n-1)

在1,2,3,4,……100这100个自然数中任取两个不同的数,使取出的两个数之和是3的倍数,则有多少种不同的取法?使他从2008，2009，2010，…，2028这些数中，任取两个数，使其和不能写成三个连续自然数的和，则有______种取在1，2，3，4，…，100这100个自然数中任取两个不同的数，使得取出的两数之和是6的倍数，则有多少种不同的取法？从2008,2009,2010...,20282028这些数中,任取两个数,使其和不能写成三个连续自然数的和,则有多少种在1—100这100个自然数中,任取21个.求证：一定存在四个数,其中有两个数之和等于另两个数之和. 在1~100这100个自然数中,有多少个不能被3或11整除的数? 在1,2,3,4,……,100这100个自然数中任取两个不同的数,使得取出的两数之和是6的倍数,后多少种取法? 如1221=11x111,那么在1500至1999这些自然数中有那些即是对称数又能写成两个对称数的成积? 在1,2,3,.2006这2006个自然数中,不能被3或4整除的数有多少个? 1.在自然数1～100中,不能被2,3中任一个整除的数有多少个? 两个连续自然数的倒数之和是56分之15,那么这两个数各是多少? 1.在1-100这100个自然数中,任取21个.求证：一定存在四个数,其中两个数之和等于另两个数之和.