求方程y''+(y')²=2e∧(-y)的通解!
来源:学生作业帮 编辑:百度作业网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/08/19 13:37:09
求方程y''+(y')²=2e∧(-y)的通解!
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解析:
方法一:令y'=p,则y''=p*dp/dy,得
p*dp/dy+p²=2e∧(-y)
再令p²=u,则2p*dp/dy=du/dy.
原方程化为:du/dy+2u=4e∧(-y)
这是一阶线性微分方程,由公式可得
u=e∧(-∫2dy)*[∫4e∧(-y)*e∧(∫2dy)dy+C1]=e∧(-2y)(4e∧y+C1)
从而 y'=p=±e∧(-y)√(4e∧y+C1)
分离变量得
(e∧ydy)/√(4e∧y+C1)=±dx
积分得√(4e∧y+C1)=±2x+C2
即4e∧y+C1=4x²±4C2x+C2²
e∧y=x²+C1'x+C2'
方法二:作变换:令e∧y=u,y=lnu
则 y'=(1/u)*u',y''=(-1/u²)(u')²+(1/u)*u''
带入原方程得 u''=2
两次积分得
u=x²+C1x+C2
故原方程的通解为
e∧y=x²+C1x+C2
方法一:令y'=p,则y''=p*dp/dy,得
p*dp/dy+p²=2e∧(-y)
再令p²=u,则2p*dp/dy=du/dy.
原方程化为:du/dy+2u=4e∧(-y)
这是一阶线性微分方程,由公式可得
u=e∧(-∫2dy)*[∫4e∧(-y)*e∧(∫2dy)dy+C1]=e∧(-2y)(4e∧y+C1)
从而 y'=p=±e∧(-y)√(4e∧y+C1)
分离变量得
(e∧ydy)/√(4e∧y+C1)=±dx
积分得√(4e∧y+C1)=±2x+C2
即4e∧y+C1=4x²±4C2x+C2²
e∧y=x²+C1'x+C2'
方法二:作变换:令e∧y=u,y=lnu
则 y'=(1/u)*u',y''=(-1/u²)(u')²+(1/u)*u''
带入原方程得 u''=2
两次积分得
u=x²+C1x+C2
故原方程的通解为
e∧y=x²+C1x+C2