百度作业网初等数论 竞赛关于完全剩余系和简化剩余系.请大家帮我想想有关逆元的定理顺便证明一下.比如是否有简系中的元素两两配对乘机为
来源：学生作业帮 编辑：百度作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/21 12:34:46
初等数论 竞赛
关于完全剩余系和简化剩余系.请大家帮我想想有关逆元的定理顺便证明一下.比如是否有简系中的元素两两配对乘机为一这一定理.
关于完全剩余系和简化剩余系.请大家帮我想想有关逆元的定理顺便证明一下.比如是否有简系中的元素两两配对乘机为一这一定理.
这个能写的有很多呀.比如：
简系里的都可逆
凡可逆的都在简系里
除了2之外,所有的简系都有偶数个数
但并不能一一配对,比如6的简系：{1,5},1的逆是1,5的逆是5,并不配对.
5的简系：{1,2,3,4},1的逆是1,4的逆是4,只有2和3互相配对.
再问： 能不能再细致点。。常用的就行
再答： 常用的就那3个。
1。简系里的都可逆。
比如：n的简化剩余系。
根据欧几里得定理（我不知道你们叫它什么，反正就是辗转相除法的那个原理，一般我叫它欧几里得定理），对于任意与n互质的数a，能找到整数b和x，使得：
ax+bn=1
也就是：ax≡1 (mod n)
所以，a可逆。而且a的逆x也与n互质，所以x也在n的简系里。
2。凡可逆的都在简系里。
如果a不与n互质，设k=gcd(a,n)，也就是：a=ka'
则对任意的整数x
ax=ka'x
所以：gcd(ax,n)>=k，也就是：ax除以n不可能余1，a不可逆。
所以，可逆的都在简系里。
3。简系的大小。
n的简系的大小，就是“欧拉Φ函数”，就是1到n里与n互质的数的个数，记作Φ(n)。
欧拉Φ函数有很多性质，其中Φ(n)可以用下面的方法简单计算出（证明略）：
设n有k个不同的质因数：p1、p2、...、pk
Φ(n)=n (1 - 1/p1) (1 - 1/p2) ... (1 - 1/pk)
=n * (p1-1)/p1 * (p2-1)/p2 ... (pk-1)/pk
比如：n=12，有2个不同的质因数：2和3（不用管质因数分解时，2和3的幂次是多少）
Φ(12) = 12 (1 - 1/2) (1 - 1/3) = 12 * 1/2 * 2/3 = 4
可以验证一下：与12互质的有 {1,5,7,11}，4个数。
用这个Φ函数的公式，可以证明（很简单），除非 n=2，否则Φ(n)永远是个偶数。
4。配对就不说了，因为不行。
5。欧拉Φ函数还有一些性质（证明略）
比如：Σ Φ(d) = n，其中 Σ 是对于n的所有因数d求和
比如：n=12，它有好多因子：1、2、3、4、6、12
Φ(1)=1、Φ(2)=1、Φ(3)=2、Φ(4)=2、Φ(6)=2、Φ(12)=4
加起来正好等于12。
性质5已经够不常用的了，剩下的就太不常用了。常用的只有前3个。
简系里的都可逆
凡可逆的都在简系里
除了2之外,所有的简系都有偶数个数
但并不能一一配对,比如6的简系：{1,5},1的逆是1,5的逆是5,并不配对.
5的简系：{1,2,3,4},1的逆是1,4的逆是4,只有2和3互相配对.
再问： 能不能再细致点。。常用的就行
再答： 常用的就那3个。
1。简系里的都可逆。
比如：n的简化剩余系。
根据欧几里得定理（我不知道你们叫它什么，反正就是辗转相除法的那个原理，一般我叫它欧几里得定理），对于任意与n互质的数a，能找到整数b和x，使得：
ax+bn=1
也就是：ax≡1 (mod n)
所以，a可逆。而且a的逆x也与n互质，所以x也在n的简系里。
2。凡可逆的都在简系里。
如果a不与n互质，设k=gcd(a,n)，也就是：a=ka'
则对任意的整数x
ax=ka'x
所以：gcd(ax,n)>=k，也就是：ax除以n不可能余1，a不可逆。
所以，可逆的都在简系里。
3。简系的大小。
n的简系的大小，就是“欧拉Φ函数”，就是1到n里与n互质的数的个数，记作Φ(n)。
欧拉Φ函数有很多性质，其中Φ(n)可以用下面的方法简单计算出（证明略）：
设n有k个不同的质因数：p1、p2、...、pk
Φ(n)=n (1 - 1/p1) (1 - 1/p2) ... (1 - 1/pk)
=n * (p1-1)/p1 * (p2-1)/p2 ... (pk-1)/pk
比如：n=12，有2个不同的质因数：2和3（不用管质因数分解时，2和3的幂次是多少）
Φ(12) = 12 (1 - 1/2) (1 - 1/3) = 12 * 1/2 * 2/3 = 4
可以验证一下：与12互质的有 {1,5,7,11}，4个数。
用这个Φ函数的公式，可以证明（很简单），除非 n=2，否则Φ(n)永远是个偶数。
4。配对就不说了，因为不行。
5。欧拉Φ函数还有一些性质（证明略）
比如：Σ Φ(d) = n，其中 Σ 是对于n的所有因数d求和
比如：n=12，它有好多因子：1、2、3、4、6、12
Φ(1)=1、Φ(2)=1、Φ(3)=2、Φ(4)=2、Φ(6)=2、Φ(12)=4
加起来正好等于12。
性质5已经够不常用的了，剩下的就太不常用了。常用的只有前3个。
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