Xi>=0,X1+X2...+Xn=1,n>=2,求证X1X2(X1+X2)+...+X1Xn(X1+Xn)+X2X3(

来源：学生作业帮编辑：百度作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/07/30 23:56:18

Xi>=0,X1+X2...+Xn=1,n>=2,求证X1X2(X1+X2)+...+X1Xn(X1+Xn)+X2X3(X2+X3)...Xn-1Xn(Xn-1+Xn)

证明：
先证一个结论.
设x,y≥0且x+y≤ 2/3,则(1-x) x^2+(1-y) y^2 ≤ (1-x-y) (x+y)^2.
(1-x) x^2+(1-y) y^2-(1-x-y) (x+y)^2
=[(1-x) x^2-(1-x-y)x^2]+[(1-y) y^2-(1-x-y)y^2]-2xy(1-x-y)
=yx^2+xy^2-2xy(1-x-y)
=xy[3(x+y)-2]
≤0
-------------------------------------------------
下面用数学归纳法来证明原命题.
当n=2时,容易验证结论是正确的.
设当n=m (m≥2)时,原命题是正确的.
当n=m+1时,不失一般性,设X1≥X2≥X3≥.≥Xm≥ Xm+1,则Xm+Xm+1≤2/(m+1)≤2/3.
(若Xm+ Xm+1>2/m,则 2=2(X1+X2+...+Xm+Xm+1)=(X1+X2)+(X2+X3)+...+(Xm+Xm+1)+(Xm+1+X1)≥(m+1)(Xm+Xm+1)>2,矛盾.)
用刚开始得到的结论,显然有：(1-Xm)(Xm)^2+(1-Xm+1)(Xm+1)^2≤(1-Xm-Xm+1)(Xm+Xm+1)^2.
设Y1=X1,Y2=X2,...,Ym-1=Xm-1,Ym=Xm+Xm+1,则
X1X2(X1+X2)+...+X1Xn(X1+Xn)+X2X3(X2+X3)...XmXm+1(Xm+Xm+1)
=(1-X1)(X1)^2+(1-X2)(X2)^2+.+(1-Xm)(Xm)^2+(1-Xm+1)(Xm+1)^2
≤(1-Y1)(Y1)^2+(1-Y2)(Y2)^2+.+(1-Ym)(Ym)^2
≤1/4,
证毕.

设xi∈R+(i=1,2,n),求证:x1^x1x2^x2,xn^xn≥(x1x2,xn)^1/n(x1+x2+,+xn 设x1,x2,x3.xn都是正数,求证:x1^2/x2+x2^2/x2+.+xn-1^2/xn+xn^2/x1>=x1+ 用数学归纳法证明：xi>0 ,i=1,2,3…n若x1x2…xn=1,则x1+x2+…xn≥n 已知正实数xi：x1*x2*x3*x4*...*xn=1.求证：[1/(n-1+x1)]+[1/(n-1+x2)]+.. 设x1,x2,...,xn>0,(1)若1,x1,x2,...,xn,2成等差数列,则x1+x2+...+xn=____ ::::::如题已知X1到Xn的求和为1.求证(x1x2+x2x3+…+xnx1)*{[(x1/(x2^2+x2)]+… 设有x1,x2……xn,满足x1+x2+……xn=0,x1x2……xn=n,证明 n可被4整除设有整数x1,x2,……xn,使x1+x2+……+xn=0,x1x2……xn=n,证明：4|n 设x1,x2,...,xn属于正实数且x1+x2+...+xn=1,求证:x1^2/1+x1+x2^2/1+x2+... 设x1 x2 ……xn属于R+ 且x1+x2+……+xn=1求证 x1^2/(1+x1) +x2^2/(1+x2)+…… 1,x1,x2,...xn,2 成等差数列,则x1+x2...+xn=? 已知x1、x2、xn∈(0,+∞),求证:x1^2/x2+x2^2/x3+…+xn-1^2/xn+xn^2/x1≥x1+