用数学归纳法证明1³+2³+3³+.+n³={1/2n(n+1)}²
来源:学生作业帮 编辑:百度作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/18 14:34:27
用数学归纳法证明1³+2³+3³+.+n³={1/2n(n+1)}²
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(1)当n=1的时候,等式成立;
(2)假设n=k时,等式也成立,即,1^3+2^3+3^3+4^3+……+k^3=(1+2+3+……+k)^2;
(3)当n=k+1时,等式左边=1^3+2^3+3^3+4^3+……+k^3+(k+1)^3=1+2+3+……+k)^2+(k+1)^3=1+2+3+……+k)^2+(k+1)^2+k(k+1)^2
而等式右边=1+2+3+……+k+k+1)^2=1+2+3+……+k)^2+(k+1)^2+2(k+1)(1+2+3+……+k)
故只需证明2(k+1)(1+2+3+……+k)=k(k+1)^2
因为2(k+1)(1+2+3+……+k)=2(k+1).k(k+1)/2=k(k+1)^2
可见1^3+2^3+3^3+4^3+……+N^3=(1+2+3+……+N)^2
(2)假设n=k时,等式也成立,即,1^3+2^3+3^3+4^3+……+k^3=(1+2+3+……+k)^2;
(3)当n=k+1时,等式左边=1^3+2^3+3^3+4^3+……+k^3+(k+1)^3=1+2+3+……+k)^2+(k+1)^3=1+2+3+……+k)^2+(k+1)^2+k(k+1)^2
而等式右边=1+2+3+……+k+k+1)^2=1+2+3+……+k)^2+(k+1)^2+2(k+1)(1+2+3+……+k)
故只需证明2(k+1)(1+2+3+……+k)=k(k+1)^2
因为2(k+1)(1+2+3+……+k)=2(k+1).k(k+1)/2=k(k+1)^2
可见1^3+2^3+3^3+4^3+……+N^3=(1+2+3+……+N)^2
用数学归纳法证明:-1+3-5+...+(-1)n*(2n-1)=(-1)n*n
用数学归纳法证明:(n+1)+(n+2)+…+(n+n)=n(3n+1)2
用数学归纳法证明(2^n-1)/(2^n+1)>n/(n十1)(n≥3,n∈N+)
用数学归纳法证明 1+2+3+...+n=1/2n(n+1)
用数学归纳法证明 1+2+3+..+n=1\2n(n+1)怎么做
用数学归纳法证明1+2+3+…+2n=n(2n+1)
用数学归纳法证明1+4+7+...+(3n-2)=[n(3n-1)]/2
用数学归纳法证明恒等式:1+2+3+...+n^2 = (n^4+n^2)/2
用数学归纳法证明等式"1+2+3+.+(2n+1)=(n+1)(2n+1)(n∈N
用数学归纳法证明1+2+3+...+(2n-1)=n²
用数学归纳法证明:1*n+2(n-1)+3(n-2)+…+(n-1)*2+n*1=(1/6)n(n+1)(n+2)
用数学归纳法证明(n+1)(n+2)…(n+n)=2^n*1*3*…*(2n-1)(n∈N+)在线等