f(x)是一个多项式,sigma是V上的一个线性变换,则 ker f(sigma) 是sigma的不变子空间.

来源：学生作业帮编辑：百度作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/08/18 19:34:12

直接按不变子空间的定义验证.
对任意X∈ker(f(σ)),有f(σ)(X) = 0.
故f(σ)(σ(X)) = σ(f(σ)(X)) = σ(0) = 0.
得σ(X)∈ker(f(σ)),即ker(f(σ))是σ-不变子空间.
其中用到f(σ)与σ可交换,这个是σ^n与σ可交换的线性推广.
而σ^n与σ可交换是显然的.
其实只要τ与σ可交换,ker(τ)就一定是σ-不变子空间.
再一般一点,若τ与σ可交换,则τ的属于λ的特征子空间ker(τ-λ)是σ-不变子空间.

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