已知z1,z2∈C,且/z1-z2共轭/=/1-z1z2/,求证/z1/,/z2/中至少有一个是1
来源:学生作业帮 编辑:百度作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/19 22:30:09
已知z1,z2∈C,且/z1-z2共轭/=/1-z1z2/,求证/z1/,/z2/中至少有一个是1
设z1=a+bi、z2=c+di,其中a、b、c、d都是实数.则:
z2的共轭复数=c-di、 z1z2=(a+bi)(c+di)=ac-bd+(ad+bc)i.于是:
|z1-z2的共轭复数|
=|a+bi-(c-di)|=|a-c+(b+d)i|=√[(a-c)^2+(b+d)^2].
|1-z1z2|
=|1-(ac-bd)-(ad+bc)i|=√{[1-(ac-bd)]^2+(ad+bc)^2}.
∵|z1-z2的共轭复数|=|1-z1z2|,
∴√[(a-c)^2+(b+d)^2]=√{[1-(ac-bd)]^2+(ad+bc)^2},
∴(a-c)^2+(b+d)^2=[1-(ac-bd)]^2+(ad+bc)^2,
∴a^2-2ac+c^2+b^2+2bd+d^2=1-2(ac-bd)+(ac-bd)^2+(ad+bc)^2,
∴a^2+c^2+b^2+d^2=1+(ac)^2-2abcd+(bd)^2+(ad)^2+2abcd+(bc)^2,
∴a^2+c^2+b^2+d^2=1+a^2(c^2+d^2)+b^2(c^2+d^2),
∴a^2+b^2+c^2+d^2=1+(a^2+b^2)(c^2+d^2),
∴a^2+b^2-(a^2+b^2)(c^2+d^2)=1-(c^2+d^2),
∴(a^2+b^2)[1-(c^2+d^2)]=1-(c^2+d^2),
∴[1-(c^2+d^2)][1-(a^2+b^2)]=0,
∴a^2+b^2=1,或c^2+d^2=1,
∴√(a^2+b^2)=1,或√(c^2+d^2)=1,
∴|a+bi|=1,或|c+di|=1,
∴|z1|=1,或|z2|=1.
∴|z1|、|z2|至少有一个是1.
z2的共轭复数=c-di、 z1z2=(a+bi)(c+di)=ac-bd+(ad+bc)i.于是:
|z1-z2的共轭复数|
=|a+bi-(c-di)|=|a-c+(b+d)i|=√[(a-c)^2+(b+d)^2].
|1-z1z2|
=|1-(ac-bd)-(ad+bc)i|=√{[1-(ac-bd)]^2+(ad+bc)^2}.
∵|z1-z2的共轭复数|=|1-z1z2|,
∴√[(a-c)^2+(b+d)^2]=√{[1-(ac-bd)]^2+(ad+bc)^2},
∴(a-c)^2+(b+d)^2=[1-(ac-bd)]^2+(ad+bc)^2,
∴a^2-2ac+c^2+b^2+2bd+d^2=1-2(ac-bd)+(ac-bd)^2+(ad+bc)^2,
∴a^2+c^2+b^2+d^2=1+(ac)^2-2abcd+(bd)^2+(ad)^2+2abcd+(bc)^2,
∴a^2+c^2+b^2+d^2=1+a^2(c^2+d^2)+b^2(c^2+d^2),
∴a^2+b^2+c^2+d^2=1+(a^2+b^2)(c^2+d^2),
∴a^2+b^2-(a^2+b^2)(c^2+d^2)=1-(c^2+d^2),
∴(a^2+b^2)[1-(c^2+d^2)]=1-(c^2+d^2),
∴[1-(c^2+d^2)][1-(a^2+b^2)]=0,
∴a^2+b^2=1,或c^2+d^2=1,
∴√(a^2+b^2)=1,或√(c^2+d^2)=1,
∴|a+bi|=1,或|c+di|=1,
∴|z1|=1,或|z2|=1.
∴|z1|、|z2|至少有一个是1.
已知Z1、Z2属于C Z1*Z2=0,求证Z1、Z2中至少有一个是0.
已知Z1、Z2属于C.Z1*Z2=0,求证Z1、Z2中至少有一个是0.
已知复数z1z2满足|z1|=|z2|=1z1+z2=-i,求z1.z2
已知z1 z2是两个虚数,z1+z2与z1z2均为实数,求证z1 z2是共轭复数
已知复数Z1Z2满足Z1+Z2=2i且|Z1|=|Z2|=|Z1+Z2|,求Z1,Z2
设复数Z1,Z2,满足Z1Z2+2iZ1-2iZ2+1=O .若z1,z2满足z2共轭-z1=2i,求z1,z2
已知复数z1,z2,满足|z1|=|z2|=1,且|z1-z2|=根号2,求证:|z1+z2|=根号2
已知复数z1,z2满足z1z2+2i(z1-z2)+1=0,且|z1|=√3,求|z2-4i|
已知非零复数z1,z2,满足|z1+z2|=|z1-z2|,求证:(z1/z2)^2一定是负数
已知复数z1,z2满足|z1|=|z2|=|z1+z2|,且z1+z2=2i,求z1,z2
已知|Z1|=|Z2|=|Z1-Z2|=1
若z1,z2∈复数,|z1+z2|=|z1-z2|,则z1z2=0 如何证明?