百度作业网信号与系统微分方程初始条件问题求助
来源：学生作业帮 编辑：百度作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/16 06:26:31
信号与系统微分方程初始条件问题求助
通常先将激励x(t)带入微分方程右端得到自由项,如果自由项是奇异函数,可以用奇异函数平衡法求初始条件.那像X(t)=f(t)u(t)的激励函数是不是奇异函数?（我一直以为它不是奇异函数）微分方程的时间t一般都取t>0,如果X(t)=f(t)u(t)也算奇异函数的话,那岂不是自由项都是奇异函数了（不管是什么函数,我都给他乘个u(t))?还有,如果自由项不含奇异函数,是不是初始条件就等于起始条件?这个问题我纠结了很长时间了.
我主要是做作业是遇到了一道题目：y"(t)+3y’(t)+2y(t)=x'(t)+3x(t),x(t)=e^(-3t)u(t),y(0-)=1,y'(0-)=2,让你求零输入响应和零状态响应.我将激励看成是普通的函数（就是不考虑u(t)),结果自由项为-3e^(-3t)+3e^(-3t)=0,特解就为0,.在这里我想问一下,求导时是不是u(t)也要算进去?还有,关于自由项是否包含奇异函数,是不是自由项在t=0处时没有跳变就算不包含奇异函数?举个例子,如果自由项就为e^(-3t)u(t),它在0处有跳变,那他是不是就属于奇异函数?而当自由项为(t^2+2t）u(t)时,就不属于奇异函数?也就是说,是否是奇异函数与自由项中是否存在u(t)没有必然联系,完全就是看在零点是否发生跳变?
通常先将激励x(t)带入微分方程右端得到自由项,如果自由项是奇异函数,可以用奇异函数平衡法求初始条件.那像X(t)=f(t)u(t)的激励函数是不是奇异函数?（我一直以为它不是奇异函数）微分方程的时间t一般都取t>0,如果X(t)=f(t)u(t)也算奇异函数的话,那岂不是自由项都是奇异函数了（不管是什么函数,我都给他乘个u(t))?还有,如果自由项不含奇异函数,是不是初始条件就等于起始条件?这个问题我纠结了很长时间了.
我主要是做作业是遇到了一道题目：y"(t)+3y’(t)+2y(t)=x'(t)+3x(t),x(t)=e^(-3t)u(t),y(0-)=1,y'(0-)=2,让你求零输入响应和零状态响应.我将激励看成是普通的函数（就是不考虑u(t)),结果自由项为-3e^(-3t)+3e^(-3t)=0,特解就为0,.在这里我想问一下,求导时是不是u(t)也要算进去?还有,关于自由项是否包含奇异函数,是不是自由项在t=0处时没有跳变就算不包含奇异函数?举个例子,如果自由项就为e^(-3t)u(t),它在0处有跳变,那他是不是就属于奇异函数?而当自由项为(t^2+2t）u(t)时,就不属于奇异函数?也就是说,是否是奇异函数与自由项中是否存在u(t)没有必然联系,完全就是看在零点是否发生跳变?
我来帮您分析一下：
阶跃函数u(t)严格意义上将是奇异函数,因为它的各种定义都是存在有间断点的,就是不连续的,符合奇异函数的定义.
但往往使用过程中把它当做是一种特殊的连续时间函数,它在信号与系统分析以及电路分析中具有重要作用.在教科书中给出的若干种互有区别的阶跃函数定义,给教学和学生的理解造成了混乱,区别仅仅在于当t=0时的取值,取值有三种,0,0.5,1.你可以百度搜一下”阶跃函数的定义及其在零点的取值“,这篇文章分析得很详细,值得一看.
再来说说您提到的奇异函数平衡法,其实指的是冲激函数系数对应的方法.类似这种的X(t)=f(t)u(t)激励,u(t)仅仅起到了表示作用区间的功能,跟标注t>0或者t≥0是等效的.因此,这里就像你想的,可以不认为它是奇异函数了,仅仅是作用区间.
如果自由项不含奇异函数（特指不含冲激函数）那么初始条件就等于起始条件,或者说.原因是,对方程两端求0-到0+上的积分的时候,右侧激励是连续的,因此积分为0,所以0+=0-.
希望能帮到您,咱们继续探讨.
再问： 首先十分感谢你的回答，我会采纳的！由于评论里有字数限制，我把问题补充在了题目中，请看一下对不对，谢谢！
再答： 您好，这道题，计算的时候，求导时肯定u(t)也要算进去。 当然，即便算进去，特解也是为0，原因就是含有σ(t)的项，无论系数是多少，在t>0的时候，取值为0，因此，你算特解的时候，其实是不用考虑u(t)的。 但为什么说，计算的时候，求导时u(t)也要算进去呢，原因是用经典法最终求零状态响应的时候，需要确定待定系数，这个时候用到初始条件，因此就要用到你所说的奇异函数平衡法，因为u(t)求导就会产生σ(t)，初始条件肯定就不等于起始条件了。 最后你说的关于自由项是否包含奇异函数，不是看函数本身在t=0处时有没有跳变，而是很简单，就看激励是不是含冲激函数σ(t)，你举例e^(-3t)u(t)和(t^2+2t）u(t)这两个都不包含σ(t)，所以都可以看做不包含奇异函数。但如果求导之后，就不同了，前一项就会有σ(t)，后一项恰巧没有σ(t)。也就是说，判断的应该是，方程右侧的总的激励，此题就是计算x'(t)+3x(t)最终的形式，判断是否包含σ(t)，求导时u(t)要算进去。 此题具体求解时候可以先求y"(t)+3y’(t)+2y(t)=x(t)，就是只有x(t)作用时的零状态响应，然后利用线性性质求x'(t)+3x(t)作用时的零状态响应，这样就不用纠结激励里面的求导了。不过线性性质求最终结果的时候，求导过程一样还是要把u(t)考虑在内的。 您明白了吗？还不行，咱们继续探讨。呵呵，又打了半个多小时的字。
阶跃函数u(t)严格意义上将是奇异函数,因为它的各种定义都是存在有间断点的,就是不连续的,符合奇异函数的定义.
但往往使用过程中把它当做是一种特殊的连续时间函数,它在信号与系统分析以及电路分析中具有重要作用.在教科书中给出的若干种互有区别的阶跃函数定义,给教学和学生的理解造成了混乱,区别仅仅在于当t=0时的取值,取值有三种,0,0.5,1.你可以百度搜一下”阶跃函数的定义及其在零点的取值“,这篇文章分析得很详细,值得一看.
再来说说您提到的奇异函数平衡法,其实指的是冲激函数系数对应的方法.类似这种的X(t)=f(t)u(t)激励,u(t)仅仅起到了表示作用区间的功能,跟标注t>0或者t≥0是等效的.因此,这里就像你想的,可以不认为它是奇异函数了,仅仅是作用区间.
如果自由项不含奇异函数（特指不含冲激函数）那么初始条件就等于起始条件,或者说.原因是,对方程两端求0-到0+上的积分的时候,右侧激励是连续的,因此积分为0,所以0+=0-.
希望能帮到您,咱们继续探讨.
再问： 首先十分感谢你的回答，我会采纳的！由于评论里有字数限制，我把问题补充在了题目中，请看一下对不对，谢谢！
再答： 您好，这道题，计算的时候，求导时肯定u(t)也要算进去。 当然，即便算进去，特解也是为0，原因就是含有σ(t)的项，无论系数是多少，在t>0的时候，取值为0，因此，你算特解的时候，其实是不用考虑u(t)的。 但为什么说，计算的时候，求导时u(t)也要算进去呢，原因是用经典法最终求零状态响应的时候，需要确定待定系数，这个时候用到初始条件，因此就要用到你所说的奇异函数平衡法，因为u(t)求导就会产生σ(t)，初始条件肯定就不等于起始条件了。 最后你说的关于自由项是否包含奇异函数，不是看函数本身在t=0处时有没有跳变，而是很简单，就看激励是不是含冲激函数σ(t)，你举例e^(-3t)u(t)和(t^2+2t）u(t)这两个都不包含σ(t)，所以都可以看做不包含奇异函数。但如果求导之后，就不同了，前一项就会有σ(t)，后一项恰巧没有σ(t)。也就是说，判断的应该是，方程右侧的总的激励，此题就是计算x'(t)+3x(t)最终的形式，判断是否包含σ(t)，求导时u(t)要算进去。 此题具体求解时候可以先求y"(t)+3y’(t)+2y(t)=x(t)，就是只有x(t)作用时的零状态响应，然后利用线性性质求x'(t)+3x(t)作用时的零状态响应，这样就不用纠结激励里面的求导了。不过线性性质求最终结果的时候，求导过程一样还是要把u(t)考虑在内的。 您明白了吗？还不行，咱们继续探讨。呵呵，又打了半个多小时的字。