（2012•莆田质检）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，点D是射线CA上的一个动点

来源：学生作业帮编辑：百度作业网作业帮分类：综合作业时间：2024/07/01 07:12:03

（2012•莆田质检）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，点D是射线CA上的一个动点（不与A、C重合），DE⊥直线AB于E点，点F是BD的中点，过点F作FH⊥直线AB于H点，连接EF，设AD=x．
（1）①若点D在AC边上，求FH的长（用含x的式子表示）；
②若点D在射线CA上，△BEF的面积为S，求S与x的函数关系式，并写出x的取值范围．
（2）若点D在AC边上，点P是AB边上的一个动点，DP与EF相交于O点，当DP+FP的值最小时，猜想DO与PO之间的数量关系，并加以证明．

（1）①
∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，
∴AB＝
AC2+BC2＝
82+62＝10，
方法一：sinA＝
BC
AB＝
6
10＝
3
5，
∵∠AED=90°，∴DE＝AD•sinA＝
3
5x，
∵∠DEB=90°，F是BD的中点，
∴EF=BF，
∵FH⊥AB，
∴EH=BH
∴FH＝
1
2DE＝
3
10x；

方法二：∵∠AED=∠ACB=90°，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴
DE
BC＝
AD
AB，
∴
DE
6＝
x
10，
∴DE＝
3
5x，
∵∠DEB=90°，F是BD的中点，
∴EF=BF
∵FH⊥AB∴EH=BH∴FH＝
1
2DE＝
3
10x，
②∵△ADE∽△ABC，
∴
AE
AC＝
AD
AB，
∴AE＝
4
5x，
有两种情况：（Ⅰ）当点D在AC边上时，如图1：
∵BE＝10−
4
5x，
∴S＝
1
2BE•FH＝
1
2(10−
4
5x)•
3
10x，
∴S＝−
3
25x2+
3
2x，（0＜x＜8），
（Ⅱ）当点D在CA延长线上时，如图2：
同理得：FH＝
1
2