代数数系数方程的解一定都是代数数?
来源:学生作业帮 编辑:百度作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/17 10:37:34
代数数系数方程的解一定都是代数数?
先根据代数数的定义,整系数方程(有理数也可以)的解.
然后,用代数数作为方程的系数,请问这个时候方程的解还是代数数吗?
先根据代数数的定义,整系数方程(有理数也可以)的解.
然后,用代数数作为方程的系数,请问这个时候方程的解还是代数数吗?
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可以从域扩张的观点来解释.主要利用这么一个事实:a是代数数当且仅当Q(a)是Q的有限次扩域.
假设所考虑的方程是:X^n+a[1]X^(n-1)+...+a[n]=0,其中a[k]都是代数数.则域F=Q(a[1],...,a[n])是Q的有限次扩域,因为它是n个有限次扩张的复合.
现在,令c是上述方程的一个解,则F(c)是F的有限次扩张,其扩张次数不超过n.这样,F(c)也是Q的有限扩域,而Q(c)是F(c)的子域,当然也是Q的有限扩域.于是c是代数数.
注意,这个命题的证明属于抽象代数的内容.要理解证明的内容,至少需要知道这些知识:线性空间、线性相关、(一般)域、域的(有限次)扩张.试图用凑方程系数来解决这个问题是不可取的.
假设所考虑的方程是:X^n+a[1]X^(n-1)+...+a[n]=0,其中a[k]都是代数数.则域F=Q(a[1],...,a[n])是Q的有限次扩域,因为它是n个有限次扩张的复合.
现在,令c是上述方程的一个解,则F(c)是F的有限次扩张,其扩张次数不超过n.这样,F(c)也是Q的有限扩域,而Q(c)是F(c)的子域,当然也是Q的有限扩域.于是c是代数数.
注意,这个命题的证明属于抽象代数的内容.要理解证明的内容,至少需要知道这些知识:线性空间、线性相关、(一般)域、域的(有限次)扩张.试图用凑方程系数来解决这个问题是不可取的.