(2014•东海县一模)在平面直角坐标系xOy中,已知A(-2,0),B(2,0),AC⊥AB于点A,AC=2,BD⊥A
来源:学生作业帮 编辑:百度作业网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/08/17 17:13:41
(2014•东海县一模)在平面直角坐标系xOy中,已知A(-2,0),B(2,0),AC⊥AB于点A,AC=2,BD⊥AB于点B,BD=6,以AB为直径的半圆O上有一动点P(不与A、B两点重合),连接PD、PC,我们把由五条线段AB、BD、DP、PC、CA所组成的封闭图形ABDPC叫做点P的关联图形,如图1所示.
(1)如图2,当P运动到半圆O与y轴的交点位置时,求点P的关联图形的面积.
(2)如图3,连接CD、OC、OD,判断△OCD的形状,并加以证明.
(3)当点P运动到什么位置时,点P的关联图形的面积最大,简要说明理由,并求面积的最大值.
![](http://img.wesiedu.com/upload/1/22/122e6fe8dd48c39521c3a1a844cfbd97.jpg)
(1)如图2,当P运动到半圆O与y轴的交点位置时,求点P的关联图形的面积.
(2)如图3,连接CD、OC、OD,判断△OCD的形状,并加以证明.
(3)当点P运动到什么位置时,点P的关联图形的面积最大,简要说明理由,并求面积的最大值.
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![](http://img.wesiedu.com/upload/5/54/554e51e6407d04a685285433c437fc18.jpg)
∴OA=2,
∵P是半圆O上的点,P在y轴上,
∴OP=2,∠AOP=90°,
∴AC=2,
∴四边形AOPC是正方形,
∴正方形的面积是4,
又∵BD⊥AB,BD=6,
∴梯形OPDB的面积=
(OP+DB)×OB
2=
(2+6)×2
2=8,
∴点P的关联图形的面积是12.
(2)判断△OCD是直角三角形.
证明:延长CP交BD于点F,则四边形ACFB为矩形,
∴CF=DF=4,∠DCF=45°,
∴∠OCD=90°,
∴OC⊥CD,
∴△OCD是直角三角形.
(3)连接OC交半圆O于点P,则点P即为所确定的点的位置.
理由如下:连接CD,梯形ACDB的面积=
(AC+DB)×AB
2=
(2+6)×4
2=16为定值,
![](http://img.wesiedu.com/upload/2/4e/24e031d9c78344928684cb7f50d9be42.jpg)
要使点P的关联图形的面积最大,就要使△PCD的面积最小,
∵CD为定长,
∴P到CD的距离就要最小,
连接OC,设交半圆O于点P,
∵AC⊥OA,AC=OA,
∴∠AOC=45°,过C作CF⊥BD于F,则ACFB为矩形,
∴CF=DF=4,∠DCF=45°,
∴OC⊥CD,OC=2
2,
∴PC在半圆外,设在半圆O上的任意一点P′到CD的距离为P′H,则P′H+P′O>OH>OC,
∵OC=PC+OP,
∴P′H>PC,
∴当点P运动到半圆O与OC的交点位置时,点P的关联图形的面积最大.
∵CD=4
2,CP=2
2-2,
∴△PCD的面积=
(AC+DB)×AB
2=
(2+6)×4
2=16,
∴点P的关联图形的最大面积是梯形ACDB的面积-△PCD的面积=16-(8-4
2)=8+4
2.
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