已知函数f(x)满足f(logx)=a/a2-1* (x-x的-1次方)(a>0,且a不=1)
来源:学生作业帮 编辑:百度作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/07 21:14:43
已知函数f(x)满足f(logx)=a/a2-1* (x-x的-1次方)(a>0,且a不=1)
1.求f(x)的解析式并判断其单调性;
2.对定义在(-1,1)上的函数f(x),若f(1-m)+f(1-m2)
1.求f(x)的解析式并判断其单调性;
2.对定义在(-1,1)上的函数f(x),若f(1-m)+f(1-m2)
马桶诶,
(1)令logaX=t,x>0
∴t∈R,则x=a^t
代入得f(t)=a×(a^t-a^-t)/(a^2-1)
将t换成x,得到表达式f(x)=a×(a^x-a^-x)/(a^2-1),x∈R.
然后考察它的奇偶性,单调性:
令x=-x,代入得f(-x)=a×(a^-x-a^x)/(a^2-1)
它恰好等于-f(x).
∴函数是奇函数.
然后看单调性,求导:
f`(x)=a/(a^2-1)×(a^x×㏑a+a^-x×lna)=a/(a^2-1)×lna×(a^x+a^-x)
当0<a<1,导数大于0;当a>1,还是大于0.
∴函数是增函数.
(2)(去掉f的办法是移向,利用奇偶性,单调性去掉符号.)
注意定义域,这里是(-1,1),所以得有-1<1-m<1,且-1<1-m^<1.
然后移向,f(1-m)<-f(1-m^2)=f(m^2-1)
又因为是增函数,∴1-m<m^2-1.
解这三个关于m的范围,取交集,0<m<1.
(3)f(x)-4<0,在区间(-∞,2)上恒成立
即f(x)<4恒成立,即f(x)的最大值<4即可.
f(x)是增函数,令x=2,代入方程,得a×(a^2-a^-2)/(a^2-1)<4.
(注意,其实这里的x=2是取不到的,但可以用到不等式中,只要注意这个边界值是否可以取到即可.若可以取到,则有时候会写成≤某个值的情况,要注意)
解这个不等式,得(a^4-1)/a^2=(a^2-1)×(a^2+1)/a^2
分子分母约掉一个(a^2-1),最后整理得a^2-4a+1<0
解得-√3+2<a<√3+2
然后与a>0且a≠1取交集,得a的范围是(-√3+2,1)∪(1,√3+2).
(1)令logaX=t,x>0
∴t∈R,则x=a^t
代入得f(t)=a×(a^t-a^-t)/(a^2-1)
将t换成x,得到表达式f(x)=a×(a^x-a^-x)/(a^2-1),x∈R.
然后考察它的奇偶性,单调性:
令x=-x,代入得f(-x)=a×(a^-x-a^x)/(a^2-1)
它恰好等于-f(x).
∴函数是奇函数.
然后看单调性,求导:
f`(x)=a/(a^2-1)×(a^x×㏑a+a^-x×lna)=a/(a^2-1)×lna×(a^x+a^-x)
当0<a<1,导数大于0;当a>1,还是大于0.
∴函数是增函数.
(2)(去掉f的办法是移向,利用奇偶性,单调性去掉符号.)
注意定义域,这里是(-1,1),所以得有-1<1-m<1,且-1<1-m^<1.
然后移向,f(1-m)<-f(1-m^2)=f(m^2-1)
又因为是增函数,∴1-m<m^2-1.
解这三个关于m的范围,取交集,0<m<1.
(3)f(x)-4<0,在区间(-∞,2)上恒成立
即f(x)<4恒成立,即f(x)的最大值<4即可.
f(x)是增函数,令x=2,代入方程,得a×(a^2-a^-2)/(a^2-1)<4.
(注意,其实这里的x=2是取不到的,但可以用到不等式中,只要注意这个边界值是否可以取到即可.若可以取到,则有时候会写成≤某个值的情况,要注意)
解这个不等式,得(a^4-1)/a^2=(a^2-1)×(a^2+1)/a^2
分子分母约掉一个(a^2-1),最后整理得a^2-4a+1<0
解得-√3+2<a<√3+2
然后与a>0且a≠1取交集,得a的范围是(-√3+2,1)∪(1,√3+2).
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