百度作业网一道几何难题（求其简洁证明）
来源：学生作业帮 编辑：百度作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/14 10:32:24
一道几何难题（求其简洁证明）
如图,在△ABC中,令∠A=α,∠B=β,∠C=γ且α>β,AD,BE,CF是它的三条垂线,AP,BQ是两条角平分线,I,O分别是它的内心和外心.证明：点D,I,E共线当且仅当P,O,Q共线,当且仅当O,I,F共线
如图,在△ABC中,令∠A=α,∠B=β,∠C=γ且α>β,AD,BE,CF是它的三条垂线,AP,BQ是两条角平分线,I,O分别是它的内心和外心.证明：点D,I,E共线当且仅当P,O,Q共线,当且仅当O,I,F共线
（角A大于角B的假设不知道是怎么回事,我姑且假设ABC是锐角三角形.当A、B中有一个是钝角或直角的时候下面的证明可能也成立）
设ABC的三边为a、b、c,内径为r.从O向BC、CA、AB作垂线,垂足依次记作X、Y、Z.
我们将证明,这三个共线的条件都等同于
OX+OY=OZ
或者等价地,
cosA + cosB = cosC
（一）设OZ与PQ交于O'.则P、O、Q共线,等价于O'=O.
作O'X'垂直BC于X',O'Y'垂直CA于Y'.过P作CA的垂线,垂足为P',过Q作BC的垂线,垂足为Q'.
不难验证,
O'X'/Q'Q + O'Y'/P'P = 1
P'P = (a+b+c)r/(b+c)
Q'Q = (a+b+c)r/(a+c)
aO'X'+bO'Y'+cO'Z = r(a+b+c) = 2S(ABC)
由此可以解得
O'X'+O'Y' = O'Z
而当O'Z>OZ,则O'X'OZ,OX+OY>OZ；当O'Z
再问： 有更简单的做法吗？
再答： 不太清楚。这个解法写得长，是因为它证明了三个命题，每一个的证明其实只有三分之一的篇幅。如果用向量来做的话可以统一处理锐角和非锐角的情况，但是计算量比这个要大得多
设ABC的三边为a、b、c,内径为r.从O向BC、CA、AB作垂线,垂足依次记作X、Y、Z.
我们将证明,这三个共线的条件都等同于
OX+OY=OZ
或者等价地,
cosA + cosB = cosC
（一）设OZ与PQ交于O'.则P、O、Q共线,等价于O'=O.
作O'X'垂直BC于X',O'Y'垂直CA于Y'.过P作CA的垂线,垂足为P',过Q作BC的垂线,垂足为Q'.
不难验证,
O'X'/Q'Q + O'Y'/P'P = 1
P'P = (a+b+c)r/(b+c)
Q'Q = (a+b+c)r/(a+c)
aO'X'+bO'Y'+cO'Z = r(a+b+c) = 2S(ABC)
由此可以解得
O'X'+O'Y' = O'Z
而当O'Z>OZ,则O'X'OZ,OX+OY>OZ；当O'Z
再问： 有更简单的做法吗？
再答： 不太清楚。这个解法写得长，是因为它证明了三个命题，每一个的证明其实只有三分之一的篇幅。如果用向量来做的话可以统一处理锐角和非锐角的情况，但是计算量比这个要大得多