百度作业网请问如何证明 ：3^(1/2)+5^(1/2)+6^(1/2) 是一个无理数?
来源：学生作业帮 编辑：百度作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/16 16:28:23
请问如何证明 ：3^(1/2)+5^(1/2)+6^(1/2) 是一个无理数?
证明：令 x=根号3 +根号5 +根号6 .
假设 x 是有理数,则
根号3 +根号5 =x -根号6 .
两边平方,得
8 +2根号15 =x^2 +6 -(2根号6)x .
即 根号15 =(1/2)x^2 -1 -(根号6)x .
令 y=(1/2)x^2 -1,则 y 是有理数,且
根号15 =y-(根号6)x,
两边平方,得
15 =y^2 +6x^2 -2xy (根号6).
因为 x> 3根号3 >0,
所以 y> (1/2)*27 -1 =25/2 >0.
所以 根号6 =(15 -6x^2 -y^2) /(2xy).
而 (15 -6x^2 -y^2) /(2xy) 是有理数,与 根号6 是无理数矛盾.
所以 假设不成立.
所以 根号3 +根号5 +根号6 是无理数.
= = = = = = = = =
计算可能有误.
如果只是两个根号相加,如根号2 +根号3 ,此方法用起来更简单.
假设 x 是有理数,则
根号3 +根号5 =x -根号6 .
两边平方,得
8 +2根号15 =x^2 +6 -(2根号6)x .
即 根号15 =(1/2)x^2 -1 -(根号6)x .
令 y=(1/2)x^2 -1,则 y 是有理数,且
根号15 =y-(根号6)x,
两边平方,得
15 =y^2 +6x^2 -2xy (根号6).
因为 x> 3根号3 >0,
所以 y> (1/2)*27 -1 =25/2 >0.
所以 根号6 =(15 -6x^2 -y^2) /(2xy).
而 (15 -6x^2 -y^2) /(2xy) 是有理数,与 根号6 是无理数矛盾.
所以 假设不成立.
所以 根号3 +根号5 +根号6 是无理数.
= = = = = = = = =
计算可能有误.
如果只是两个根号相加,如根号2 +根号3 ,此方法用起来更简单.