是否存在β∈(0,π/2),使得关于x的方程x^2-4xcosβ+2=0和x^2-4xsinβ-2=0有一个实数解相等?
来源:学生作业帮 编辑:百度作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/09 10:53:00
是否存在β∈(0,π/2),使得关于x的方程x^2-4xcosβ+2=0和x^2-4xsinβ-2=0有一个实数解相等?如果存在,求出β,如果不存在,说明理由.
解
假设存在这样的β,使得两个方程有相同的根m
∴m²-4mcosβ+2=0且
m²-4msinβ-2=0
∴cosβ=(m²+2)/(4m)
sinβ=(m²-2)/(4m). (这里,可以知道, m>0且m²>2)
上面两个式子,两边平方再相加,可得
1=[m⁴+4m²+4+m⁴-4m²+4]/(16m²)
整理可得:m²=4+2√3
m=1+√3
∴代入到上面式子里,可得:
sinβ=1/2, cosβ=(√3)/2
结合0<β<π/2可知: β=π/6
假设存在这样的β,使得两个方程有相同的根m
∴m²-4mcosβ+2=0且
m²-4msinβ-2=0
∴cosβ=(m²+2)/(4m)
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上面两个式子,两边平方再相加,可得
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整理可得:m²=4+2√3
m=1+√3
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