若m,n∈正整数,试求出所有有序整数对（m,n）,使得(n^3+1)/(mn-1)∈整数

来源：学生作业帮编辑：百度作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/07/18 19:14:14

答案是：(1,2)(1,3)(2,5)(3,5)(2,2)(2,1)(3,1)(5,2)(5,3) 共九对.
大体是由对称性知m和n一样,然后用同余的知识解.
参见《高中数学竞赛培优教程（专题讲座）》（浙江大学出版社）第20页【例2.5】.
已知（mn-1)|(n^3+1)
因为（mn-1,m)=1,所以（mn-1,m^3)=1
所以由（mn-1)|(n^3+1)可以得出（mn-1)|(n^3+1)*m3
但(n^3+1)*m&3=(m^3*n^3-1)+(m^3+1)
又因为（mn-1)|(m^3*n^3-1),所以（mn-1)|(m^3+1)
若m=n,则（n^3+1)/(mn-1)=(m^3+1)/(n^2-1)=n+1/(n-1),即1/（n-1)是整数,只能是n=2,答案是（2,2）
若mn,不妨设m>n
若n=1,则2/(m-1)是整数,m=2,3,此时答案是（2,1）,（3,1）
若m>n>=2,因n^3+1对n同余1,mn-1对n同余-1,
令n^3+1=q(mn-1),必有q对n同余-1,故可设q=kn-1,于是
kn-1=(n^3+1)/(mn-1)

试求出所有的整数n,使得n3-n+5/n2+1 是一个整数求所有正整数对(m,n)使得5^m+5^n可以表示成为两个整数的平方和 1,将正整数如图所示的规律列下去,若用有序数对（n,m）表示第n排,从左到右第m个数,如（4,3）表示整数9,则（17, 1.满足|mn|+|m-n|=1的整数对（m,n）的个数是? n为正整数,a,b,c为有理数,对所有整数m,代数式1/n×m³+am²+bm+c的值都是整数,求n 证明：4/1(m*m+n*n-m-n)必为整数..m,n都是正整数... 归纳猜想论证是否存在大于1的正整数m,使得f(n)=(2n+7)*3^n+1对任意正整数n都能被m整除?若存在,求出是否存在正整数m,使得f(n)=(2n+7)*3^n+9对任意自然数n都能被m整除.若存在,求出最大的m值有序数对（m,n）中的整数m,n满足m-n=-6,且点P（m,n）在第二象限,写出所有符合条件的数对. 有序数对（m,n）中的整数m,n满足m-n=-6,且点p（m,n）在第二象限,写出符合所有符合条件的数对关于平面直角坐标系.有序数对（m,n）中的整数m,n,满足m-n=-6,且点P（m,n）在第二象限.写出所有符合条件的序是否存在整数m,n满足m^2+1991=n^2,若存在,求出全部整数对（m,n）,若不存在,请说明理由.